黄金比例1

1黄金分割1．定义：把任一线段分割成两段，使，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）1x大段小段全段大段小段大段1x22．求黄金比解：设黄金比为，不妨设全段长为1，则大段=，小段=。故有，解得，其正根为ABxx11xxx210xx152x510.61803390.6182x1x小段大段33．黄金分割的尺规作图设线段为。作，且，连。作交于，再作交于，则，即为的黄金分割点。AB12BDABBDABAD()DDBAD()AAEABC512ACABCABE152EDCBA4证：不妨令，则，，，证完。1BD2AB2215AD51AEADED5151,2ACACAEAB54.黄金分割的美黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”。例如:61）人体各部分的比肚脐：（头—脚）印堂穴：（口—头顶）肘关节：（肩—中指尖）膝盖：（髋关节—足尖）72）著名建筑物中各部分的比如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.61583）美观矩形的宽长比如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）4）风景照片中，地平线位置的安排9EDCBAE'D'C'B'A'5）正五角星中的比0.618ABAD0.618ABAC106）舞台报幕者的最佳站位在整个舞台宽度的0.618处较美7）小说、戏剧的高潮出现在整个作品的0.618处较好112．黄金分割点的再生性和“折纸法”①黄金分割点的再生性12即：如果是的黄金分割点，是的黄金分割点，与当然关于中点对称。特殊的是，又恰是的黄金分割点。同样，如果是的黄金分割点，则又恰是的黄金分割点，等等，一直延续下去。再生CABCBACCOCACCCACAC13②寻找最优方案的“折纸法”根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法——“折纸法”。仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。14用一个有刻度的纸条表达1000克—2000克。在这纸条长度的0.618的地方划一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次试验。然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1382克处，再按1382克做第二次试验。15把两次试验结果比较，如果1618克的效果较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外的一段纸条剪去）。再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1236克处。16按1236克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果1236克的效果较差，我们就把1236克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试验点是1472克。17按1472克做试验后，与1382克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。18注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长度按0.618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速度迅速趋于0。所以，“0.618法”可以较快地找到满意的点。事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。190.618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。203．最优化数学生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发展成一门“最优化数学”，包括规化论（线性规划、非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最优化等等。21用导数的方法求极值是用连续的手段处理最优化问题，优选法“0.618法”则是用离散的手段处理最优化问题。应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应用到实践中去的一条经常的重要的途径。我们以后将要做的“找次品”趣题，也是要最大限度地发挥天平的作用，用最少的次数找出次品来，也是一个最优化问题。22从不同途径导出黄金比黄金分割：线段的分割点满足，这一比值正是。510.6182大段小段全段大段512