3.1.1-函数的平均变化率

美国康奈尔大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度。想想陡峭程度应怎样表示？登山问题xHABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路AB放大研究:若),(),,(1100yxByxA01xxx01yyy自变量的改变量函数值的改变量xyxxyyxxyyk10100101直线AB的斜率:xyD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk0101直线AB的斜率:xyxxyyk23231直线CD1的斜率:x竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）也就是说，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk23231直线CD1的斜率:x越大，山坡越陡，高度的平均变化量就越大yx函数的平均变化率已知函数在点及其附近有定义，令,则当时,比值叫做函数在到之间的平均变化率)(xfy0xx0xxx)()()()(0000xfxxfxfxfyyy0xxyxxfxxf)()(00)(xfy0xxx0思考：（1）△x、△y的符号是怎样的？（2）该两变量应如何对应？理解：2、对应性：若).()(,1212xfxfyxxx则;,0,11212但可正可负即附近的任意一点是、xxxxx.)()(12可正可负，也可为零xfxfy例1.求函数在到之间的平均变化率2xy0xxx0解:当函数在到之间变化的时候2xy0xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxfxy02020002)()()(分析:当取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.x0x练习：求函数在到之间的平均变化率xy10xxx0解:当函数在到之间变化的时候0xxx0xy1函数的平均变化率为000000)(111)()(xxxxxxxxxfxxfxy若呢？yx小结•知识：函数平均变化率•方法与思想：数形结合，化未知为已知的转化思想要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+t这段时间内，当t0时平均速度的极限．即vttsttstsvt)()(lim0瞬时速度函数的瞬时变化率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应的发生改变如果当趋近于０时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点处的瞬时变化率。)(xfy0xx0xx)()(00xfxxfyxxxfxxf)()(00ll)(xfy0x导数的概念也可记作oxxy★若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为0()fx00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx即说明：)(xf0x0xxyxy0x（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点x是自变量x在0x处的改变量，0x，而y是函数值的改变量，可以是零．（2）)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ffxxfx（1）求函数的增量:；00()()fxxfxfxx（2）求平均变化率:；00()limxffxx．（3）取极限，得导数:例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?t)(s105.69.4)(2ttthst1mst5.06.1)5.0(/hst1ththth)1()1(ttt1015.619.410)1(5.6)1(9.4223.39.4t3.3同理，thh1/运动员在时的瞬时速度为，3.3)1(/hst1sm/3.3st5.0smh/6.1)5.0(/sm/6.1上升下落这说明运动员在附近，正以大约的速率。3.39.4t0limt)(lim0t3.31/hst5.0sm/0x割线PQ的的变化情况２．在的过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？)(xfyPQxyM求已知曲线的切线.0()Kfx切作业•课本82.B2•报纸A14•一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.•二是:求已知曲线的切线.00()(),VtSt0()Kfx切例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为xh2()715(08).fxxxx计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。3.1.1导数的几何意义00()()nnnfxfxkxxPxy00x()yfxTnx•一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.•二是:求已知曲线的切线.00()(),VtSt0()Kfx切课堂小结：函数的平均变化率函数的瞬时变化率0xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为xh2()715(08).fxxxx计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。3.1.1导数的几何意义00()()nnnfxfxkxxPxy00x()yfxTnxPxyo0x()yfxT0000()()()(,())yfxxfxyfxMxfx函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。0000()()lim()xfxxfxkxfx00()(,())yfxMxfx曲线在点处000()()yyfxxx的切线方程为0tan()PTkfx即圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCPPP根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.105.69.4)(2ttth3.3)1(/h6.1)5.0(/hh0.15.0Ot(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4t增（减):增（减）快慢：=切线的斜率附近：瞬时变化率（正或负）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的大小切线的倾斜程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降．0t曲线在处切线的斜率0在附近，曲线，函数在附近单调0t,1t,1t2t如图，切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度，2t1t,3t4t大于上升递增2l1l3l4l3t4t上升这说明曲线在附近比在附近得迅速．2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减下降小于下降,3t4t2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf抽象概括：是确定的数是的函数x导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/xxfxxfxfx)(lim0/t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率3.004.15.0小结：１.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图像在点处的切线AD的斜率（数形结合）)(xf0xx0/xf)(xf)(,00xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/＝切线AD的斜率3.导函数(简称导数)xxfxxfxfx)()(lim)(0/2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。以简单对象刻画复杂的对象课堂小结今天这节课，你学到了哪些知识？小结：•1.函数的平均变化率定义•2.函数的平均变化率的几何意义•3.函数的平均变化率的求法00()()fxxfxx是曲线上两点对应割线的斜率美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。课堂小结：函数的平均变化率函数的瞬时变化率0xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l布置作业：课本：P84练习B1、2、3P89练习A2、B1