传染病模型.

动态微分方程模型传染病模型(四个模型)问题提出本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象,医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是：（1）如何描述传染病的传播过程（2）如何分析受感染人数的变化规律（3）如何预报传染病高潮的到来．问题分析不同类型传染病的传播过程有不同的特点。故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型．由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的数学模型．思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假设，最终得出较好的模型。模型一SI模型模型假设：（1）一人得病后，久治不愈，人在传染期内不会死亡。（2）单位时间内每个病人传染人数为常数k。为什么假设不会死亡？（因为死亡后便不会再传播疾病，因而可认为此时已退出系统）模型建立：I（t）——表示t时刻病人的数量，时间：天则：I（t+Δt）—I（t）＝k0I（t）Δt于是模型如下：00)0()(IItIkdtdI模型的解：tkeItI00)(举个实例最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人模型的缺点问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加，这一点与实际情况不符．原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移时，一个地区的总人数可视为常数。因此k0应为时间t的函数。在传染病流行初期，k0较大，随着病人的增多，健康人数减少，被传染的机会也减少，于是k0将变小。模型修改的关键：k0的变化规律模型二(SI模型)设t时刻健康人数为S(t)．病人数为I(t)模型假设：（1）总人数为n不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，I(t)十S(t)＝n（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不会死亡。（3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康的人数成正比，比例系数为k（称之为传染系数）模型改进0()()(0)dIkStItdtII　方程的解：knteInntI11)(0对模型作进一步分析传染病人数与时间t关系传染病人数的变化率与时间t的关系染病人数由开始到高峰并逐渐达到稳定增长速度由低增至最高后降落下来疾病的传染高峰期022dtId此时计算高峰期得：knInt)1ln(00意义：1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快的来临，这与实际情况比较符合。2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均人数，称日接触率。t0与λ成反比。λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高。故改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。模型的缺点缺点：当t→∞时，I(t)→n，这表示所有的人最终都将成为病人，这一点与实际情况不符合原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可以治愈及病人病发身亡的情况。思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型进行修改。模型三(SIS模型)有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再次被传染而成为病人。模型假设：（1）总人数为：s(t)+i(t)＝n（2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为k（3）单位时间治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，称1/h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2人，h＝1/5，则每位病人平均生病时间为1/h＝5天)。模型的建立假设2、3得：0()()()(0)dikstithitdtii将假设1代入，可得模型：0()(0)dikinihidtii模型的解：()01()1()hnktitkkenkhinkh阈值σ=nk/h的意义一个病人在平均传染期内传染的人数与当时健康的人数成正比，治愈率为h1()01liminkhnkkhitnkh??ì-ïï=íï£ïî　　　　　　　　模型的意义（t,i(t)）图（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋于零。（2）当σ＞l时，i(t)最终以1-1/σ为极限；（3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占比例也随之上升模型四（SIR模型）某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。模型假设：（1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类，这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)，i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)＝n。（2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病人人数成正比，比例系数为μ模型的建立00(0)(0)disiidtdssidtiiss从此方程无法求出i(t)与s(t)的解析解。我们可以从相轨线作定性分析相轨线相轨线（s，i）000ln1)(sssisi图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向相轨线分析结果1、不论初始条件s0、i0如何．病人终将消失。2、最终未被感染的健康者的比例是s∞，图中可看出是在(0，1/σ)内的单根。3、若s01/σ，则i(t)先增加，当s＝1/σ时，i(t)达到最大。4、若s0≤1/σ，则i(t)单调减小至零阈值1/σ的意义1、减小传染期接触数σ，即提高阈值l/σ，使得s0≤1/σ(即σ≤1/s0)，传染病就不会蔓延。2、卫生、医疗水平：σ=λ/μ3、交换数的意义：σs=λs∙1/μ是传染期内一个病人传染的健康者的平均人数，称为交换数，其含义是一个病人被σs个健康者交换。4、σ的估计ssss00lnln模型验证——印度孟买的一个例子)2(22202tchsdtdr图中，实际数据用圆点表示．可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。SIR模型的两个应用被传染比例的估计群体免疫和预防被传染比例的估计00012()2xssss011s0i假定很小，接近于10s其中这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小，于是这个比例就会降低。群体免疫和预防根据对模型的分析，当时，传染病不会蔓延，因而制止传染病蔓延的途径有两条1．提高卫生和医疗水平（使阈值变大）；2．通过预防接种使群体得到免疫（降低）0s01/s011r只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫者比例）满足（＊）式，就可以制止传染病的蔓延．（＊）0r课后任务请各位同学进行一些调查，根据模型算一算在广州，非典型肺炎爆发的高潮大概是在何时，与实际情况相吻合吗？根据模型请给出你的建议。思考题1设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言传播情况的微分方程模型。思考题2汽车停车距离可分为两段：一段为发现情况到开始制动这段时间里驶过的距离DT，这段时间为反应时间；另一段则为制动时间驶过的距离DR，现考核某司机，考核结果如下：行驶速度DTDR36公里/小时3米4．5米50公里/小时5米12．5米70公里/小时7米24．5米（1）作出停车距离D的经验公式（2）设制动力正比于车重，建立理论分析模型并求出D的公式。思考题3本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约每两年发生—次麻疹传染病。生物数学家H·E索珀试图解释这种现象，他认为易受传染者的人数因人口中新添新的成员而不断得到补充。试建立数学模型。思考题4房屋管理部门想在房顶的边缘安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常在200~500之间。现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径为7．5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)，并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水．但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现，于是想请你用数学的方法给一个详细的分析，论证它这个方案的可行性