《一元二次方程的应用》复习

一元二次方程的应用1.审题2.设未知数3.找出问题中的等量关系4.列方程5.解方程6.检验并作答运用方程模型解决实际问题的步骤（一）增长率问题．例1、某市2014年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元，求这两年教育投入年平均增长率.2500（1+x）²=3025整理，得（1+x）²=1.21解得x1=0.1=10%，x2=-0.1答：这两年的年平均增长率为10%.解：设这两年的年平均增长率为x，得：（舍去）例1为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率。100（1-x）²=81解得x1=0.1=10%,x2=1.9答：平均每次降价的百分率为10%.解：设平均每次降价的百分率为x，得(不合题意，舍去)变例4、某超市2016年三月份的销售额为100万元，二月份下降了20%，从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份达到135.2万元，求四五月份平均每月的增长率.（二）成批商品利润问题．例2某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？（售价-进价）×销售量=利润.你能找出问题中涉及的等量关系吗？（x-21)(350-10x）=400整理，得x²-56x+775=0解得x1=25,x2=31.注意：21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元.你能根据等量关系列出方程吗？从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）你认为运用一元二次方程解实际问题的关键是什么？找出问题中的等量关系说一说例3.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？解：设应降价x元，则(44-x)(20+5x)=1600整理，得x²-40x+144=0解得x1=36,x2=4答：应降价36元或4元。总利润＝每件利润×件数例4.某商场将进货单价为45元的服装以每件65元售出，平均每天可销售30件，由于换季，为了尽快减少库存，商场决定降价，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利800元，则应降价多少元？解：设应降价x元，则(20-x)(30+5x)=800整理，得x²-14x+40=0解得x1=4,x2=10答：应降价36元或4元。变.某商场将进货单价为45元的服装以每件65元售出，平均每天可销售30件，若每件涨价1元，则每天可少售出5件．若要平均每天盈利800元，则应降价多少元？解：设应降价x元，则(20+x)(30-5x)=800•面积问题例1如图2-2，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.底面长×宽=底面积你能找出问题中涉及的等量关系吗？若设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系你能列出方程吗？解得x1=27，x2=7．∴3440034201710.212x整理得：x2-34x+189=0.∵a=1，b=-34，c=189，∴b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，(40-2x)(28-2x)=364接下来请你解出此一元二次方程两个根都符合题意吗？答：截去的小正方形的边长为7cm．例4如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.分析虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。分析若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了，问题中涉及的等量关系是什么？矩形面积=矩形的长×矩形的宽若设道路宽为xm，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？(32-x)(20-x)=540整理，得x²-52x+100=0解得x1=2,x2=50又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？x2=50＞32，不符合题意，舍去,故x=2.答：道路的宽为2米.练习3.如图，在长为100m、宽为80m的矩形地面上要修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分进行绿化．若要使绿化面积为7644m2，则路宽应为多少米？解设修建的路宽应为x米，则根据题意得化简，得2100+80=100807644xxx--2180+356=0xx-解得12x=2178x=（不合题意，舍去）修建的路宽应为2m.答：100m80m例5如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？变：出发多少秒后P、Q两点之间的距离为24问题中涉及的等量关系是什么？两直角边的乘积的一半=直角三角形的面积S△PCQ=½PC×CQ你能根据等量关系列出方程吗？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².习题4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？答：点P，Q同时出发2s后可使可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.整理，得.21424=0xx+-·.1116868222xx（）（）则由S△PCQ=可得·12PCCQ解得.12=2=12xx，（不合题意，舍去）则根据题意得AP=BQ=xcm，PC=（8-x）cm，CQ=（6-x）cm.解设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，例1如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，（1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m²．（2）矩形花园的面积能否达到500m²．解设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10不合题意舍去.答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．如图，小亮家想用房屋的一面长5m的墙再砌三面墙围成一个矩形猪舍，现在已备足可以砌10m长的墙的材料（1）如何砌法，使矩形猪舍的面积为12m²．（2）矩形猪舍的面积能否达到为14m²．建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验小结与复习