同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数

教材:《高等数学》(第七版)同济大学应用数学系主编高等教育出版社,2014.7.数学数学而且是一种思维模式;不仅是一种知识,而且是一种素养;不仅是一种科学,而且是一种文化;不仅是一种工具,数学何谓数学素养（数学素质）？通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。微积分的创立背景1、计算曲面面积，如：由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.xdxxxyo)(xfy2、求空间立体的体积),(yxfzD3、变速运动物体的瞬时速度4、炮弹的最大射程5、光滑曲线的切线和法线什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.1.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程高等数学的主要内容多元微积分如何学好微积分?华罗庚1、深刻理解基本概念2、勤于思考，敢于提问，独立完成作业3、快乐学习，在学习中提升自己、认识自己第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一节函数一、基本概念二、函数及其几种基本特性三、反函数四、复合函数初等函数1.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab一、基本概念}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2.邻域:.0,且是两个实数与设ao().Ua记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a(){0}.oUaxxa,}{邻域的称为点数集aaxx3.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.4.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:二、函数因变量自变量变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,自然定义法:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.练习：求下列函数的定义域2252(1)ln16(2)log(1)xyxxyx2160ln00xxx[1,4)(4,)x210x(,1)(1,)x2(2)lg(4)yx1(1)3yxx(,0)(0,3x(,2)(2,)x例1求下列函数的定义域函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素：•定义域Df：自变量的变化范围。•对应法则f：自变量与因变量的对应规则。函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即Rf={yy=f(x)，xDf}=f(Df).结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。例如：y=f(x)=sinx，xR=(-,+)；y=f(x)=sinx，xD=(-,)表示不同的函数，因为它们的定义域不同。y=f(x)=lgx2，xD=(-,0)∪(0,+)；y=g(x)=2lgx，xE=(0,+)；表示不同的函数，因为它们的定义域不同。y=f(x)=sinx，xR=(-,+)；y=f(t)=sint，tR=(-,+)；u=f(t)=sint，tR=(-,+)；均表示同一个函数，因为它们的定义域和对应法则都相同。•练习：P16第2题如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数(1)绝对值函数xy0yyyy0yx0y(2)符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyoxxxsgn(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷函数例解：,01)(QxQxxD设.))(().21(),57(的性质并讨论求xDDDD,0)21(D,1))((xDD,1)57(D(5)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg例.已知函数1,110,2)(xxxxxfy解:)(21f及.)(1tf写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域),0[D值域),0[)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy11例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不超过3km时，一律收起步费10元；当行驶里程超过3km时,除起步费外，对超过3km但不超过10km的部分，按每千米2元计费，对超过10km的部分按每千米3元计费,试写出车费C与行驶里程s之间的函数关系。1003243103610.sCCsssss,,,,,以C=C(s)表示这个函数，其中s的单位是km，C的单位是元。按问题的规定：当0s3时，C=10；当3s10时，C=10+2(s–3)=2s+4；当s3时，C=10+2(10–3)+3(s–10)=3s–6.上述车费C与行驶里程s间的函数关系可写为：解：函数的几种基本特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf注：（1）一个函数在某个区间上有界，正数M的取法不是唯一的；（2）有界性是函数的局部性质，与选定的区间有关。例：sinx，cosx函数在整个定义域内都有界。y=1/x在（0，1）内无界，而在（1，2）上有界。2．函数的奇偶性:偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx)(xfyx)(xfox-x)(xfy奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相应的奇、偶性。例如：奇＋奇=奇，偶＋偶=偶；奇×奇=偶，偶×偶=偶。3．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l在每个区间长度为L的区间上，图形的形状都相同注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(思考：的周期分别是多少？()sin2,()cosfxxfxx)()(1Dfyyfx记作.)(,)(的反函数称为函数新的对应关系到个由这是一xfyDDf1(),!,()yfDxDxfy使得反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域三、反函数)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy1(33)2yx1(33)2xy则所求反函数为练习：求y＝log3(2x－3)的反函数。解：从方程y＝log3(2x－3)中解出x为例如：y＝ex的反函数为x=lny;y=3x2的反函数?定理1在定义域上单调增加（减少）的函数存在反函数，并且此反函数也是单调增加（减少）的。•注：即使在整个定义域上不单调的函数，也可以截取一个单调区间来定义它的反函数。实际上，并不是任何函数都有反函数的。那么，什么样的函数存在反函数呢？反三角函数xyarcsin;sinxy反正弦函数Arcarcsin()arcsinxxsin(arcsin)xxxy22110x[-1,1],y[-/2,/2].xyarccos;cosxy反余弦函数Arccos(arccos)xxyx011x[-1,1],y[0,].xyarctan;tanxy反正切函数Arcarctan()arctantan(arctan)xxxx0y22xx(-,+),y(-/2,/2).xarcycot;cotxy反余切函数Arccot(cot)arcxxyx20x(-,+),y(0,).2arcsin3xy思考：求下列函数的定义域五、复合函数初等函数1.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy2.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(4.三角函数正弦函数xysin;sinxyxycos;cosxy余弦函数正切函数;cotxy余切函数;tanxyxytanxycot正割函数xysecxysecxcos1xycsc余割函数xycsc它们均为周期函数，sinx和cosx有界。其余三角函数无界。sinx，tanx，cscx为奇函数。cosx,cotx,secx为偶函数。xsin15.复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.设函数,1,1,13)(xxxxxf)]([xff1)(,1)(3xfxfx换为f(x)1)(,)(xfxf0x0,49xx1)13(3x10,13xx1,xx例：.)]([xff求解:作业P161.(3)(7)(8);9.(2)(4)(5);11.(