导数的几何意义课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修1-11-2导数及其应用第三章3.1导数第三章第2课时导数的几何意义第三章课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧课前自主预习•爬山过程中，我们都有这样的感觉，当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁，怎样用数学知识来反映山坡的平缓与陡峭程度呢？•1.割线的斜率•已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是_______________________，即曲线割线的斜率就是__________________．ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx函数的平均变化率•2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是____________________________________．相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为__________________．•3．如果把y＝f(x)看作是物体的运动方程，那么，导数f′(x0)表示________________________________，这就是导数的物理意义．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)运动物体在时刻x0时的速度•1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()•A．不存在B．与x轴平行或重合•C．与x轴垂直D．与x轴斜交•[答案]B•[解析]由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.•∴切线与x轴平行或重合．•2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()•A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0•C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在•[答案]B[解析]由导数的几何意义可知f′(x0)＝－120，故选B.•3．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是()•A．9B．6•C．－3D．－1•[答案]A[解析]Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，ΔyΔx＝9＋6Δx＋Δx2，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(9＋6Δx＋Δx2)＝9，由导数的几何意义可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是9.•4．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为__________________．•[答案]4x－y－1＝0[解析]因为f(x)＝x2＋3，x0＝2，所以f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋Δx.所以limΔx→0ΔyΔx＝4，即f′(2)＝4.又切线过点(2,7)，所以f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)，即4x－y－1＝0.•5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为__________．•[答案](3,30)[解析]设P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02Δx2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，又因为f′(x0)＝16，所以4x0＋4＝16，所以x0＝3，所以P(3,30)．6．求曲线y＝1x－x上一点P(4，－74)处的切线方程．[解析]y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx－1x－x＋Δx－xΔx＝limΔx→0＝－Δxxx＋Δx－Δxx＋Δx＋xΔx＝limΔx→0－1x＋Δx＋x－1xx＋Δx＝－12x－1x2.∴y′|x＝4＝－14－116＝－516，∴曲线在点P4，－74处的切线方程为：y＋74＝－516(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.课堂典例讲练•求切线方程求曲线y＝x2＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．[解析]y′|x＝1＝limΔx→01＋Δx2＋31＋Δx＋1－12＋3×1＋1Δx＝limΔx→05Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(5＋Δx)＝5，即切线的斜率k＝5，∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y－5＝5(x－1)，即5x－y＝0.•[点评]解答本题的过程中，易出现把“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”混淆的错误，导致该种错误的原因是没有分清已知点是否为切点．•求曲线在点P(x0，y0)处的切线的方程，即给出了切点P(x0，y0)的坐标，求切线方程的步骤：•①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；•②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；•③若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数存在且f′(x0)0，切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．已知曲线y＝13x3上一点P2，83，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．[解析](1)∵y＝13x3，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013x＋Δx3－13x3Δx＝13limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0(3x2＋3xΔx＋Δx2)＝x2，y′|x＝2＝22＝4.∴点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.•求切点坐标已知抛物线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋4平行．求点P的坐标和切线方程．[解析]设点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→02x0Δx＋Δx2Δx＝2x0.又曲线在点P处的切线与直线y＝2x＋4平行，∴2x0＝2，∴x0＝1.又点P(x0，y0)是曲线y＝x2上一点，∴y0＝x20＝1，∴点P的坐标为(1,1)．曲线在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)．即2x－y－1＝0.•已知直线y＝2x＋m与曲线y＝x2相切，求实数m的值及切点坐标．[解析]设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→02x0Δx＋Δx2Δx＝2x0.•由曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y＝2x＋m知2x0＝2，∴x0＝1，•∴P(1,1)．•又点P在切线y＝2x＋m上，∴m＝－1，•∴m的值为－1，切点坐标为(1,1)．易错疑难辨析已知曲线y＝x3，求曲线过点P(1,1)的切线方程．[误解]设f(x)＝x3，则f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，∴f′(1)＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.•[辨析]该解法仅考虑到点P(1,1)是切点，但没有注意到点P(1,1)可能不是切点．[正解]设切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝x3，则f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，∴f′(x0)＝3x20，∴切线方程为y－y0＝3x20(x－x0)，将点P(1,1)代入，得1－y0＝3x20(1－x0)．又y0＝x30，联立解得x0＝－12或x0＝1，∴切点坐标为(－12，－18)或(1,1)．∴所求的切线方程为y＝34x＋14或y＝3x－2.思想方法技巧无限逼近思想曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．[解析]令y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3，ΔyΔx＝Δx2，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数0，这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在x＝0处的切线存在，此时切线的斜率为0(ΔyΔx无限趋近于0)，又曲线过点(0,0)，故切线方程为y＝0.•[点评](1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．(2)对于曲线在点x0处的切线有下面的情形：若ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于x轴的直线)；其二是ΔyΔx既不是趋近于某一常数也不趋近于∞，则此时切线不存在．课后强化作业（点此链接）