《椭圆的简单几何性质一》PPT课件

复习：1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:|)|2(2||||2121FFaaPFPF当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay222cab二、椭圆简单的几何性质-a≤x≤a,-b≤y≤b知椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中,122ax得：122byoyB2B1A1A2F1F2cab1、范围：YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称二、椭圆的对称性2、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。3、椭圆的顶点)0(12222babyax令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A14、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0e11）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:222221ababaace思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？oyB2B1A1A2F1F2cab222221612:9362,yxxyC1问：对于椭圆C与椭圆：更接近于圆的是。2C标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abcea22221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前222cab(0e1)(e越接近于1越扁)例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是：。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。106860解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b192522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置54例2椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置椭圆的标准方程为：；11422yx椭圆的标准方程为：；116422yx解：（1）当为长轴端点时，，，2a1b02，A（2）当为短轴端点时，,，2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是或11422yx116422yx已知椭圆的离心率，求的值19822ykx21ek21e4k由，得：解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．82ka92b12kcx当椭圆的焦点在轴上时，，，得．92a82kbkc12y21e4191k45k由，得，即．∴满足条件的或．4k45k练习2：例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点32,4P22194xy解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量2213632xy⑶22110064xy⑵22110064yx或22114529049yx或例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（3）长轴长为6,中心O,焦点F,顶点A构成的角OFA的余弦值为2/3.2222119559xyxy或解：由题知a=3cos∠OFA=caoFA∴c=2，b2=a2-c2=5因此所求椭圆的标准方程为与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为22221125202025xyxy或例3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：解：由已知得所求椭圆2c=25c5ea5又∴a=5，b2=a2-c2=20故所求椭圆的标准方程为：若将题设中的“焦距”改为“焦点”，结结论又如何？例4、已知F1是椭圆的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。OBAPF1解：设椭圆的方程为：2222xy1abpxc2222p22cbyb(1)aa又KOP=KAB2bbaca因此b=c22acc即c2ea2例7.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星的轨道方程（精确到1km）。xyAB..F1F2解：建系如图，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点可设椭圆方程为：12222byax0ba则Oca||||2OFOA||2AF43963716810..ca||||2OFOB||2BF238463718755解得.5.9725.7782ca，22cab.7722故卫星的轨道方程是.1772277832222yx练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。4、已知椭圆的离心率为1/2，则m=.221/34或－5/41/2练习：1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。①长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上②长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。2.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。3、（高考）椭圆的焦点F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A、7倍B、5倍C、4倍D、3倍4、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为优美椭圆，设是优美椭圆，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF=A、60°B、75°C、90°D、120°例6.如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于别一个焦点F2上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知BC垂直于F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）例5电影放映灯泡的反射面是旋转椭圆面的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程。12112,||2.8,||4.5.BCFFFBcmFFcm课本例题小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。例5：设M为椭圆上的一点,F1,F2为椭圆的焦点,如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。1byax22221、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤（1）先定位：确定焦点的位置（2）再定形：求a,b的值。2、求椭圆的离心率（1）求出a,b,c，再求其离心率（2）得a,c的齐次方程，化为e的方程求作业1、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准方程。2、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A，B，原点到直线AB的距离等于，又该椭圆的离心率为，求该椭圆的标准方程。3、点M（x,y）到定点（2，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的点的轨迹方程是什么？轨迹是什么？(4)P为椭圆上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值是.13422yx