(安徽专用)2014届高考数学 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文 新人教A版

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)六个公式：①sin(α±β)＝__________________________；②cos(α±β)＝__________________________；③tan(α±β)＝________________．(2)公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝___________________________；②tanα－tanβ＝___________________________．sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tanα±tanβ1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)三个公式：①sin2α＝________________；②cos2α＝cos2α－sin2α＝___________＝___________；③tan2α＝___________．(2)公式S2α、C2α的变形：①sinαcosα＝_____________；②sin2α＝______________；③cos2α＝________________．2sinαcosα2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α12(1＋cos2α)12sin2α12(1－cos2α)1．你能用tanα表示sin2α与cos2α吗？【提示】sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α，cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.2．若sinα＋cosβ＝m，cosα＋sinβ＝n，你能用m、n表示sin(α＋β)吗？【提示】由sinα＋cosβ＝m得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝m2，由cosα＋sinβ＝n得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝n2，∴2＋2sin(α＋β)＝m2＋n2，∴sin(α＋β)＝12(m2＋n2－2)．1．(人教A版教材习题改编)sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是()A.12B.32C．－12D．－32【解析】sin34°sin26°－cos34°cos26°＝－(cos34°cos26°－sin34°sin26°)＝－cos60°＝－12.【答案】C2．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°【解析】2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos215°－sin215°＝cos30°＝32，2sin215°－1＝－cos30°＝－32，sin215°＋cos215°＝1.故选B.【答案】B3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝()A.18B．－18C.47D．－47【解析】tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）·tan（α－β）＝3＋51－3×5＝－47.【答案】D4．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝()A．－7210B.7210C．－210D.210【解析】由题意知sinα＝－35，∴sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋(－45)×22＝－7210.【答案】A5．(2012·江西高考)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.43【解析】由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.【答案】B化简：(1)sin50°(1＋3tan10°)；(2)（1＋sinθ＋cosθ）（sinθ2－cosθ2）2＋2cosθ(0＜θ＜π)．【思路点拨】(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；(2)统一为θ2的三角函数，变形化简．【尝试解答】(1)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(cos10°＋3sin10°cos10°)＝2sin50°（12cos10°＋32sin10°）cos10°＝2sin50°sin（30°＋10°）cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(2)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cosθ2＞0.因此2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.又(1＋sinθ＋cosθ)(sinθ2－cosθ2)＝(2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2)(sinθ2－cosθ2)＝2cosθ2(sin2θ2－cos2θ2)＝－2cosθ2cosθ.故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.1．本题(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式．2．三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”帮助我们找到变形的方向．化简：(1)2＋2cos8＋21－sin8；(2)2cos4x－2cos2x＋122tan（π4－x）sin2（x＋π4）.【解】(1)2＋2cos8＋21－sin8＝2（1＋cos8）＋21－2sin4cos4＝2×2cos24＋2（sin4－cos4）2＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.(2)原式＝2cos2x（cos2x－1）＋122tan（π4－x）·cos2（π4－x）＝－4cos2xsin2x＋14cos（π4－x）sin（π4－x）＝1－sin22x2sin（π2－2x）＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．(2)(2013·烟台模拟)已知cos(α－π6)＋sinα＝435，则sin(α＋7π6)＝________．【尝试解答】(1)∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]【思路点拨】(1)2α＋π12＝2(α＋π6)－π4，求出α＋π6的正弦、余弦，再代入求解；(2)先用两角差的余弦公式展开cos(α－π6)，再逆用公式合并，最后用诱导公式求sin(α＋76π)．＝sin2(α＋π6)cosπ4－cos2(α＋π6)sinπ4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250.(2)cos(α－π6)＋sinα＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＋sinα【答案】(1)17250(2)－45＝32cosα＋32sinα＝3sin(α＋π6)＝453.∴sin(α＋π6)＝45，∴sin(α＋76π)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示．(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号．已知0＜β＜π2＜α＜3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．【解】因为sin(3π4＋β)＝sin[π2＋(π4＋β)]＝cos(π4＋β)＝513，又因为0＜β＜π2＜α＜3π4，所以π4＜π4＋β＜3π4，－π2＜π4－α＜－π4，故sin(π4＋β)＝1－cos2（π4＋β）＝1－（513）2＝1213，sin(π4－α)＝－1－cos2（π4－α）＝－1－（35）2＝－45.所以sin(α＋β)＝sin[(π4＋β)－(π4－α)]＝sin(π4＋β)cos(π4－α)－cos(π4＋β)sin(π4－α)＝1213×35－513×(－45)＝5665.已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．【尝试解答】(1)由tanα2＝12，得tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，∴cosα＝34sinα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①、②联立，得25sin2α＝16，∵0＜α＜π2，∴sinα＝45.(2)由(1)知，cosα＝35，sinα＝45又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2.∴sin(β－α)＝9810＝7210，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)·sinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.1．第(2)问中，由sinβ＝22易错误得出β＝π4，这些错误的原因都是忽视了角的范围．2．“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小．其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，试求角β的值．【解】由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－（17）2＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314，由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0＜β＜π2，所以β＝π3.三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)．2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．题型全面，难度中低档，源于教材，主要考查公式的灵活运用，三角恒等变换能力以及化归转化等数学思想．规范解答之五三角函数的给值求值问题(12分)(2012·广东高考)已知函数f(x)＝Acos(x4＋π6)，x∈R，且f(π3)＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(4α＋43π)＝－3017，f(4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．【规范解答】(1)由f(π3)＝2得Acos(π12＋π6)＝2，····················2分即A·cosπ4＝2，∴A＝2.········4分(2)由(1)知f(x)＝2cos(x4＋π6)．由f（4α＋43π）＝－3017，f（4β－23π）＝85，得2cos（α＋π3＋π6）＝－3017，2cos（β－π6＋π6）＝85，·······6分解得sinα＝1517，cosβ＝45.············8分∵α，β∈[0，π2]，∴cosα＝1－sin2α＝817，sinβ＝1－cos2β＝35.·········10分∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×3