高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用(人教A版)

．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___.|a||b|cosθ_____叫做a和b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cosθ_____，其中向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。规定：零向量与任一向量的数量积为___0_____.即00a（2）平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影____|b|cosθ_____的乘积.(3)平面向量数量积的重要性质：①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__|a|cosθ________；②非零向量a，b，a⊥b⇔____a·b＝0____________；③当a与b同向时，a·b＝__|a||b|___；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__）当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|______，a·a＝__a2___＝_|a|2___，|a|＝___a·a____；（两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|___）④cosθ＝__a·b|a||b|________；⑤|a·b|_≤___|a||b|.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝__b·a______；(2)分配律：(a＋b)·c＝___________a·c＋b·c_____；(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)______________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y(2)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝_____121222221122xxyyxyxy_____.C网通(4)若a＝(x，y)，则|a|2＝22xy或|a|＝x2＋y2.(5)若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB→＝______(x2－x1，y2－y1)___，所以|AB→|＝______222121x-x)+y-y)（（_____.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2.a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.3.一般地，(a·b)c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.4.a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈AB→，BC→〉应为120°，而不是60°.自我检测1.已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___－32_____.2.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．163．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．22C．4D．8B2(22)abab＝2244aabb＝8＝22.4.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为___32_____.5.已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为___655___.6.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b||a－b|；③(b·c)a－(a·c)b不与c垂直；④(3a＋4b)·(3a－4b)＝9|a|2－16|b|2.7.平面上有三个点A（-2，y），B（0，2y），C（x，y），若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________________．→＝2，－y2，BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即2，－y2·x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．8.若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，这样利用向量关系式，求得MA→＝32，－12，MB→＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→·MB→＝－2.题型一平面向量的数量积的运算例1（1）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________.2(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→等于()A.23B.32C.33D.3解法1基底法:∵BC→＝3BD→，∴AC→＝BC→－BA→＝3BD→－BA→＝3(AD→－AB→)＋AB→＝3AD→＋(1－3)AB→.又AD⊥AB，|AD→|＝1.∴AC→·AD→＝3AD2→＋(1－3)AB→·AD→＝3.法2定义法设BD＝a，则BC＝3a，作CE⊥BA交的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD与Rt△BEC中，Rt△ABD∽Rt△BEC中，BDADBCEC,CE＝3，∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝3AC.∴AD→·AC→＝|AD→|·|AC→|cos∠DAC＝|AD→|·|AC→|cos∠ACE＝3.法3坐标法(1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝___－3___.(2)如下图，在ABC△中，3BCAB，30ABC，AD是边BC上的高，则ACAD的值等于（）A．0B．49C．4D．49【思路点拨】充分利用已知条件的3BCAB，30ABC，借助数量积的定义求出．【答案】B【解析】因为3ACAB，30ABC，AD是边BC上的高,23AD29cos4ADACADACCADAD.（3）设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.3C.2D．1【解析】∵a·b＝－12，且|a|＝|b|＝1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－12.∴〈a，b〉＝120°.如图所示，将a，b，c的起点平移至同一点O，则a－c＝CA→，b－c＝CB→，∠ACB＝60°，于是四点A，O，B，C共圆，即点C在△AOB的外接圆上，故当OC为直径时，|c|取最大值．由余弦定理，得AB＝＋OB2－2·OA·OB·cos〈a，b〉＝3，由正弦定理，得2R＝ABsin120°＝2，即|c|的最大值为2.题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积.例2解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积.|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.变式训练2(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角.解(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos120°＋3cos120°＝－32，|a＋b＋c|＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋4＋9＋4cos120°＋6cos120°＋12cos120°＝3.设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，θ＝a＋b＋ca|a＋b＋c||a|＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.(3)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．解析∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴a·b0且a·b不同向．即|i|2－2λ|j|20，∴λ12.当a·b同向时，由a＝kb(k0)得λ＝－2.∴λ12且λ≠－2.（4）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________解以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，a－y)，∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4y)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4y)2，∵点P是腰DC上的动点，∴0≤y≤a，因此当y＝34a时，|PA→＋3PB→|2的最小值为25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.题型三平面向量的垂直问题例3已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0αβπ).(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)(1)证明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b与a－b互相垂直.(2)解ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，|ka＋b|＝22(coscos)(ss)kkinin=22cos()1kk，网通|a－kb|＝212cos()kk.∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α).又k≠0，∴cos(β－α)＝0.而0αβπ，∴0β－απ，∴β－α＝π2.变式训练3(1)已知平面向量a＝(3，－1)，b＝12，32.①证明：a⊥b；②若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c