【金版教程】2017届高考数学(理)一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-3

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积考纲展示三年高考总结1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主，解题时要合理的运用向量的数量积、夹角、模等相关知识，会应用数量积判断向量的垂直及处理夹角、长度等问题.考点多维探究考点1平面向量数量积的运算回扣教材1.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．|a||b|cosθ|b|cosθ小题快做1.思考辨析(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()√×√2．[2013·湖北高考]已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152解析AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，|CD→|＝52，故AB→在CD→上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.3．[2016·云南师大附中月考]设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝()A．－6B.10C.5D．10解析∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D.4．[教材改编]已知|a|＝3，|b|＝4，且向量a与b的夹角为135°，则a·b＝________.－62解析由平面向量的数量积易得a·b＝|a||b|cosθ＝3×4×cos135°＝－62.典例1(1)[2015·山东高考]已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝()A．－32a2B．－34a2C.34a2D.32a2(2)[2015·四川高考]设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B．15C．9D．6解析(1)在菱形ABCD中，BA→＝CD→，BD→＝BA→＋BC→，所以BD→·CD→＝(BA→＋BC→)·CD→＝BA→·CD→＋BC→·CD→＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋12a2＝32a2.(2)选择AB→，AD→为基向量．∵BM→＝3MC→，∴AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34AD→，又DN→＝2NC→，∴NM→＝NC→＋CM→＝13AB→－14AD→，于是AM→·NM→＝AB→＋34AD→·13AB→－14AD→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16|AB→|2－9|AD→|2)＝9，故选C.平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【跟踪训练】1．[2015·南昌零模]在△ABC中，|AB→|＝3，|AC→|＝2，点D满足2BD→＝3DC→，∠BAC＝60°，则AD→·BC→＝()A．－85B.95C.85D．－95解析因为2BD→＝3DC→，所以BD→＝35BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋35BC→＝AB→＋35(AC→－AB→)＝35AC→＋25AB→，所以AD→·BC→＝35AC→＋25AB→·BC→＝35AC→＋25AB→·AC→－AB→＝35AC→2－15AB→·AC→－25AB→2＝35×22－15×2×3×cos60°－25×32＝－95.2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为__________．1解析如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)．故DE→·CB→＝1.又DC→＝(1,0)，∴DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t，且0≤t≤1.∴DE→·DC→的最大值为1.1考点多维探究考点2平面向量的垂直与夹角回扣教材平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝.(2)模：|a|＝a·a＝.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22.(4)夹角：cosθ＝＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(5)已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔；a∥b⇔a·b＝±|a||b|.(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.x1x2＋y1y2x21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2＝0小题快做1.思考辨析(1)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)两向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.()×××2．[2015·长春三模]已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3解析∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a2|a||b|＝22，∴向量a与向量b的夹角为π4，故选B.3．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量OA→⊥AB→，则实数k＝()A．4B．3C．2D．1解析因为A(1,3)，B(－2，k)，所以OA→＝(1,3)，AB→＝(－3，k－3)，因为OA→⊥AB→，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.4．[教材改编]已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角为________．120°解析|a|2＝(2e1＋e2)2＝4e21＋e22＋4e1e2＝7.同理：|b|2＝7，a·b＝|a|·|b|cosθ＝7cosθ＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)＝－72，所以cosθ＝－12，又θ∈[0°，180°]，故θ＝120°.典例2(1)[2015·重庆高考]若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．π(2)[2013·山东高考]已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．712解析(1)∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0⇒3|a|2－a·b－2|b|2＝0⇒3|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉－2|b|2＝0.又∵|a|＝223|b|，∴83|b|2－223|b|2cos〈a，b〉－2|b|2＝0.∴cos〈a，b〉＝22.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π4.选A.(2)∵AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝0，∴(λAB→＋AC→)·BC→＝0，即(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝λAB→·AC→－λAB→2＋AC→2－AC→·AB→＝0.∵向量AB→与AC→的夹角为120°，|AB→|＝3，|AC→|＝2，∴(λ－1)|AB→||AC→|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【跟踪训练】3．[2015·安徽高考]△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→解析∵b＝AC→－AB→＝BC→，∴|b|＝|BC→|＝2，故A错；∵BA→·BC→＝2×2×cos60°＝2，即－2a·b＝2，∴a·b＝－1，故B、C都错；∵(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC→，故选D.4．[2014·四川高考]平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析解法一：由c与a的夹角等于c与b的夹角，可设c＝λa|a|＋b|b|＝λ5a＋λ25b(λ∈R)，∵c＝ma＋b，∴m＝λ5，1＝λ25⇒m＝2.解法二：c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，∵c与a的夹角等于c与b的夹角，且向量夹角的取值范围是[0，π]，∴a·c|a|·|c|＝b·c|b|·|c|，∴2(a·c)＝b·c⇒2(m＋4＋4m＋4)＝4m＋16＋4m＋4⇒m＝2.考点多维探究考点3平面向量的模及其应用利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现具有一定的综合性，且主要有以下几个命题角度.命题角度1求向量的模典例3[2014·江西高考]已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝13，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.3解析因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.命题角度2求向量模的最值或范围典例4[2014·湖南高考]在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________．7＋1解析解法一：设D(x，y)，由CD→＝(x－3，y)及|CD→|＝1可知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又OA→＋OB→＋OD→＝(－1,0)＋(0，3)＋(x，y)＝(x－1，y＋3)，∴|OA→＋OB→＋OD→|＝x－12＋y＋32，问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－3)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7，故x－12＋y＋32的最大值为7＋1.解法二：设D(x，y)，则由|CD→|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，从而可设x＝3＋cosα，y＝sinα，α∈R.而OA→＋OB→＋OD→＝(x－1，y＋3)，则|OA→＋OB→＋OD→|＝x－12＋y＋32＝2＋cosα2＋3＋sinα2＝