2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第23讲 正(余)弦定理

12．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题．．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题．1222sin2sin3sinsinsin224sinsinsin.5()()1cRsinCaRAbcRCabABCRRABCabc①；，②，；，，③；:::::在下列条件下，应用正弦定理求解：ⅰ已知两角和一边，求其他边和角；ⅱ已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．正弦及其他定理及变式边和角．222222212cos2cos.2coscoscos.3()()()()2abcbcAbcababCABC　；④；；；⑤　在下列条件下，应运用余弦定理求解：ⅰ已知三边，求三个角；ⅱ已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；ⅲ已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角．此类问．题余需弦定理及变要讨论式11sinsin.22124334SabCbcA⑥根据题意画出示意图；确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知条件和未知．三条件；　　选用正、余弦角形的面积公式定理进行求解，．应用解三角并注意运算的形知识解决实际问题的步骤正确性；给出答案．222222sin2cos21sin22bRBsinBcacacBRabcacBab①；②；③；④；⑤；⑥【要点指南】1.△ABC中，BC＝3，A＝30°，B＝60°，则AC等于()A．33B.3C.32D．23【解析】由正弦定理得BCsinA＝ACsinB，AC＝BCsinBsinA＝3×3212＝33，故选A.2.在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝13，那么AC等于()A．6B．26C．36D．46【解析】AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝62＋42－2×6×4×13＝6.3.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2b＝a＋c，且sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解析】由题意，2sinB＝sinA＋sinC，①sin2B＝sinA·sinC，②所以sinA＋sinC24＝sinAsinC，所以(sinA－sinC)2＝0，所以sinA＝sinC，代入①，得sinB＝sinA＝sinC，所以A＝B＝C.4.在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系为()A．x≤yB．xyC．xyD．x≥y【解析】y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC0，所以yx.5.在△ABC中，A＝120°，b＝1，面积为3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝27.【解析】由S＝12bcsinA，即3＝12×1×c×32，所以c＝4.所以a＝b2＋c2－2bccos120°＝16＋1＋2×4×1×12＝21.所以2R＝asinA＝2132＝27.所以a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2RsinA＋sinB＋sinCsinA＋sinB＋sinC＝2R＝27.一正弦定理的应用【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝2，B＝30°，求A、C和c.【解析】由asinA＝bsinB，得2sinA＝2sin30°，所以sinA＝22，所以A＝45°或135°.当A＝45°时，C＝180°－30°－45°＝105°.又由2sin30°＝csin105°，得c＝3＋1.当A＝135°时，C＝180°－30°－135°＝15°.同理c＝3－1.【点评】本题已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理求解，但要判定△ABC是否有解，有几个解；也可用余弦定理求解．已知方程x2－bcosAx＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a和b是△ABC的两边，A和B是其对角，试判断△ABC的形状．素材1【解析】设方程两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.由题意，bcosA＝acosB，由正弦定理，2RsinBcosA＝2RsinAcosB，所以sin(A－B)＝0，又－πA－Bπ，所以A－B＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形．【点评】判断三角形形状主要思路是“化异为同”——化成纯粹的边与边、角与角的关系，通过运算求出边与角的大小，从而作出判断．二余弦定理和面积公式的应用【例2】满足条件AB＝2，AC＝2BC的△ABC的面积的最大值为____________．【解析】设BC＝x，则AC＝2x.由余弦定理，得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4－x24x，所以S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12×2x×1－4－x24x2＝14－x4＋24x2－16＝14128－x2－122.由三边关系，得2x＋x2x＋22x2x＋2x，解得22－2x22＋2.故当x＝23时，S△ABC取最大值为22.【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问题，一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值，然后再利用三角形的面积公式和函数性质求解．素材2在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【解析】(1)因为cosBcosC＝－b2a＋c，所以a2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab＝－b2a＋c，所以a2＋c2－b2＋ca＝0，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，所以B＝120°.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，得13＝a2＋c2－2ac·(－12)，所以13＝(a＋c)2－ac，又a＋c＝4，所以ac＝3.所以S△ABC＝12ac·sinB＝12×3×32＝334.三正弦定理和余弦定理的综合运用【例3】已知圆O的半径是R，它的内接△ABC中，有2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，求角C和△ABC面积S△ABC的最大值．【解析】由正弦定理得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，则2R(a24R2－c24R2)＝(2a－b)×b2R，即a2－c2＝(2a－b)b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，于是C＝π4，A＋B＝3π4.所以S△ABC＝12ab·sinC＝12×4R2sinAsinB×22＝2R2sinAsin(3π4－A)＝12R2[2sin(2A－π4)＋1]．因为0A3π4，所以－π42A－π45π4，所以当2A－π4＝π2，即A＝3π8时，S△ABC取最大值．(S△ABC)max＝2＋12R2.【点评】本题利用两个定理联立求解，结合化归与转化思想，化异为同，最后水到渠成，本题在三角函数与解三角形交汇处命题，灵活利用角的联系，减少角的个数，借助三角函数的性质，求最值．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＋bc＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求bc的最大值；(3)求asinπ6－Cb－c的值．素材3【解析】(1)因为cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12.又因为A∈(0，π)，所以A＝2π3.(2)由a＝3，得b2＋c2＝3－bc，因为b2＋c2≥2bc，所以3－bc≥2bc，所以bc≤1.当且仅当b＝c＝1时，bc取最大值为1.(3)asinπ6－Cb－c＝2RsinAsinπ6－C2RsinB－2RsinC＝sinAsinπ6－CsinB－sinC＝3212cosC－32sinCsinπ3－C－sinC＝34cosC－34sinC32cosC－32sinC＝12.【点评】正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视．备选例题如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.【解析】(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，又DC＝AC＝BC，所以∠CBE＝180°－150°2＝15°，所以cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝6＋24.(2)在△ABE中，AB＝2.由正弦定理得AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，所以AE＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－2.2222sin()cos2aRARbcaAbc正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或统一．一般的，利用公式等为外接圆半径，可将边转化角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理；利用公式等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边．