《随机过程与排队论》知识点复习

随机过程与排队论计算机科学与工程学院顾小丰Email：[e-mail]:139800572782020年2月12日星期三2020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰教学内容1.概率论的基本知识2.随机过程的基本概念1)随机过程的定义及分类2)随机过程的分布及数字特征3.独立过程与独立增量过程4.泊松过程5.更新过程140－22020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰教学内容6.马尔可夫过程1)马尔可夫过程的概念2)离散参数马氏链3)齐次马氏链状态的分类4)连续参数马氏链5)生灭过程140－32020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰教学内容7.排队系统概述8.M/M/1/∞排队9.M/M/∞排队系统10.M/M/c/∞排队系统11.M/M/c/K混合制排队系统12.M/M/c/m/m系统及损失制系统13.有备用品的M/M/c/m+K/m系统14.一般服务的M/G/1/排队系统140－42020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰一、概率论的基本知识概率空间及其基本概念随机试验、样本点、样本空间、随机事件体随机事件、基本事件和可测空间概率、概率空间、概率的性质条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式140－52020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰1、条件概率空间设概率空间(Ω,F,P)，AF，BF，且P(A)0，在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：)A(P)AB(P)A|B(P给定概率空间(Ω,F,P)，AF，且P(B)0，对任意BF有P(B|A)对应，则条件概率P(B|A)是(Ω,F)上的概率，记P(B|A)＝PA，则(Ω,F,PA)也是一个概率空间，称为条件概率空间。140－62020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰2、乘法公式设概率空间(Ω,F,P)，如果A,BF，且P(AB)0，则下述乘法公式成立：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)推广：设概率空间(Ω,F,P)，如果AiF，i=1,2,…,n且P(A1A2…An)0，则下述推广的乘法公式成立：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)140－72020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰3、全概率公式与贝叶斯公式设事件组B1,B2,…,Bn两两互不相容，即BiBj＝Φ(1≤i≠j≤n)，且＝Ω，P(Bi)0，i=1,2,…,n，则对任意事件A，有n1iiB1.全概率公式：2.贝叶斯公式：；n1iii)B|A(P)B(P)A(P，n1iiijjj)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)A|B(Pj=1,2,…n。140－82020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰4、随机变量及其分布一、随机变量设(Ω,F,P)为概率空间，如果定义样本空间Ω上的一个单值实函数X＝X()，Ω，满足{：X()x}F-∞x+∞则称X()为随机变量。随机变量缩写为r.v.。二、分布函数设X＝X()是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量，对任意实数x，定义函数F(x)＝P{Xx}-∞x+∞称为r.v.X的概率分布函数，简称分布函数。140－92020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰5、离散型随机变量及其分布律若r.v.X至多只取可列无穷多个数值：x1,x2,…,xn,…，令pk＝P{X＝xk}，它满足：(1)pk≥0，(2)＝1，则称X为离散型随机变量，并称P{X＝xk}＝pk，k=1,2,…为X的分布律或概率分布。离散型r.v.X的分布函数：kkp)x(p}xX{P)x(Fxxkk它是左连续单调不减的阶梯函数，在x＝xk处有第一类跳跃型间断点，其跳跃度为pk。140－102020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰6、连续型随机变量若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x，使得r.v.X的分布函数满足：则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变量的概率密度函数，简称概率密度。)x(du)u(f)x(Fx140－112020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰7、常见的随机变量及其分布如果r.v.X的分布律为,2,1,0k,0e!k}kX{Ppkk则称r.v.X服从参数为λ的泊松分布，记为X～()。1)泊松(S.D.Poisson)分布140－122020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰2)(负)指数分布(寿命分布)如果r.v.X的概率密度为00x,00xe)x(fx，则称r.v.X服从参数为的（负）指数分布(寿命分布)，X的分布函数为0x,00x,e1)x(Fx140－132020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰3)正态分布(高斯分布)如果r.v.X的概率密度为x,e21)x(f222)x(则称r.v.X服从参数为和2的正态分布(高斯分布)，记为X～N(,2)，X的分布函数为x,dte21)x(Fx2)t(22特别地，=0,2=1时的正态分布称为标准正态分布，记为r.v.X～N(0,1)，其概率密度和分布函数特别记为：x,de21)x(Φ,e21)x(φx22x22140－142020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰4)k阶爱尔朗(Erlang)分布如果r.v.X的概率密度为0x,00xe)!1k()x()x(fx1k，则称r.v.X服从参数为（0）的k阶爱尔朗分布，记为X～Ek，其分布函数为0x,00x,!i)x(e1)x(F1k0iix140－152020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰8、二维随机变量（向量）如果X和Y是定义在同一概率空间(Ω,F,P)上的两个随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量(向量)，记为二维r.v.(X,Y)。设(X,Y)是二维随机变量，定义函数F(x,y)＝P{Xx,Yy}，-∞x+∞，-∞y+∞为r.v.(X,Y)的二维联合分布函数。140－162020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰9、离散型二维随机变量如果二维若随机变量(X,Y)至多只取可列无穷多对数值(xi,yj)，i,j=1,2,…，令pij＝P{X＝xi,Y＝yj}，它满足：(1)pij≥0，(2)＝1，则称(X,Y)为离散型二维随机变量。称pij＝P{X＝xi,Y＝yj}，i,j=1,2,…为(X,Y)的联合分布律。称1i1jijp为(X,Y)的联合分布函数。xxyyijxxyyjiiiiip)yY,xX{P)y,x(F140－172020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰边缘分布律、条件分布律为r.v.X的边缘分布律。称,2,1ip}xX{Pp1jijii，为r.v.Y的边缘分布律。称,2,1jp}yY{Pp1iijjj，为在已知Y=yj的条件下，r.v.X的条件分布律。称,2,1j,ipppjijj|i，为在已知X=xi的条件下，r.v.Y的条件分布律。,2,1j,ipppiiji|j，如果pij＝pi.·p.j，i,j=1,2,…，则称r.v.X与Y相互独立称140－182020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰10、连续型二维随机变量若存在非负可积函数f(x,y)，使得二维r.v.(X,Y)的联合分布函数满足：yxdudv)v,u(f)y,x(Fxy则称(X,Y)为连续型二维随机变量，并称f(x,y)为连续型二维随机变量的联合概率密度函数，简称联合概率密度。140－192020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰11、边缘分布函数设二维r.v.(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，FX(x)＝F(x,+∞)，-∞x+∞称为r.v.X的边缘分布函数。FY(y)＝F(+∞,y)，-∞y+∞称为r.v.Y的边缘分布函数。设二维r.v.(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，，-∞x+∞称为r.v.X的边缘概率密度函数。，-∞y+∞称为r.v.Y的边缘概率密度函数。dy)y,x(f)x(fXdx)y,x(f)y(fY140－202020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰12、条件概率密度与条件分布函数fY|X(y|x)＝f(x,y)∕fX(x)，-∞x+∞,-∞y+∞称为已知X=x的条件下，r.v.Y的条件概率密度。fX|Y(x|y)＝f(x,y)∕fY(y)，-∞x+∞,-∞y+∞称为已知Y=y的条件下，r.v.X的条件概率密度。dy)y,x(fdy)y,x(fdy)x|y(f)x|y(FyyX|YX|Ydx)y,x(fdx)y,x(fdx)y|x(f)y|x(FxxY|XY|X称为已知X=x的条件下，r.v.Y的条件分布函数。称为已知Y=y的条件下，r.v.X的条件分布函数。140－212020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰§13随机变量的数字特征1）数学期望若离散型r.v.X的分布律为pk＝P{X=Xk}，k=1,2,…，当时，称k1kkpx1kkkpx)X(E为r.v.X的数学期望(均值)若连续型r.v.X的概率密度函数为f(x),x(-∞,+∞)，当时，称dx)x(fxdx)x(xf)X(E为r.v.X的数学期望(均值)140－222020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰2）方差设X是随机变量，若E[X-E(X)]2存在，称D(X)＝E[X-E(X)]2为r.v.X的方差(或记为Var(X))，称为r.v.X的均方差或标准差。)X(DX事实上有：D(X)＝E[X-E(X)]2＝E(X2－2X·E(X)＋E2(X))＝E(X2)-E2(X)140－232020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰3）常见随机变量的数学期望和方差1)泊松分布X～()：E(X)＝D(X)＝；2)(负)指数分布：E(X)＝1/，D(X)＝1/2；3)正态分布X～N(,2)：E(X)＝，D(X)＝2；4)爱尔朗分布X～Ek：E(X)＝k/，D(X)＝k/2。140－242020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰3）k阶矩设r.v.X有E(|X|k)+，E[|X-E(X)|k]+，则称k＝E(Xk)为X的k阶原点矩；称k＝E(|X|k)为X的k阶绝对矩；称k＝E[X-E(X)]k为X的k阶中心矩；称k＝E[|X-E(X)|k]为X的k阶绝对中心矩。140－252020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰4）协方差若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，称cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}＝E(XY)-E(X)E(Y)为随机变量X和Y的协方差，称)Y(D)X(D)Y,Xcov(XY为随机变量X和Y的相关系数，称XY＝0为随机变量X和Y不相关。140－262020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰5）协方差矩阵设n维r.v.(X1,X2,…Xn)，若cij＝cov(Xi,Xj)＝E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]}i,j＝1,2,…,n存在，则称为n维随机变量(X1,X2,…Xn)的协方差矩阵。nn2n1nn22221n11211nnijccccccccc)c(C140－272020/2/12计算机科学与工程学院顾小丰6）特征函数随机变量X的特征函数定义为X(u)=E(eiuX)，i＝1－当r.v.X为离散型随