几种证明全等三角形添加辅 助线的方法

全等三角形复习课适用学科数学适用年级初中二年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点全等三角形的性质和判定方法教学目标熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用教学重点学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法教学难点通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。一、延长中线构造全等三角形例1.如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2.如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。三、作平行线构造全等三角形例3.如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。∵BE＝CD，∴EM＝CD。又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。四、作垂线构造全等三角形例4.如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。∵AM＝CM，∴CF＝CM。∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。五、沿高线翻折构造全等三角形例5.如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。证明：把△ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB上截取DE＝DC，连接AE。如图10。∴△ADC≌△ADE（SAS）。AC＝AE，∠C＝∠AED。∵∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B。从而AB＞AC。六、绕点旋转构造全等三角形例6.如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABM，即：延长CB到M，使BM＝DQ，连接AM。如图12。∴△ABM≌△ADQ（SAS）。∴∠4＝∠2＝∠1，∠M＝∠AQD。∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠MAP。∴∠M＝∠MAP。∴PA＝PM＝PB＋BM＝PB＋DQ（因BM＝DQ）。【课堂练习】1、如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC2、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.F为CD中点求证：CD=2CE3、如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．4、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CABCDABCD5、已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．6、如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。7、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFAEBMCFAEBMCF8、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：；9、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．10、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE11、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEF21ABCDEF2112、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE13、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.Image补充：常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用ImageImage的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．1、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.3、