高考数学总复习 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理课件 新人教A版

第三章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理1.考纲要求考情分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.从高考试题看，对本节内容有以下两种考查方式：(1)直接考查正(余)弦定理及三角形面积公式；(2)以正(余)弦定理为工具、以三角形为载体，综合考查三角问题．2.从考查形式上看，三种题型都有可能出现，且常与向量结合在一起考查，难度中等.一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；cosA＝b2＋c2－a22bc；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosB＝；cosC＝.2RsinB2RsinC2RsinAsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1．在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么条件？2．在△ABC中，已知a，b，A解三角形时，如何判断解的情况？提示：充要条件．sinA＞sinB⇔a2R＞b2R⇔a＞b⇔A＞B.提示：由正弦定理求得sinB＝bsinAa，然后根据sinB及a，b的大小关系确定B的取值，进而确定解的情况．二、三角形的面积公式1．S＝12a·ha，(ha表示a边上的高)．2．S＝12bcsinA＝＝.3．S＝12(a＋b＋c)·r(r为三角形内切圆半径)．12acsinB12absinC1．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由正弦定理得sinAa＝cosBb＝sinBb，所以sinB＝cosB，又0B180°，因此B＝45°.答案：B2．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2c2，cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以三角形为钝角三角形．故选C.答案：C3．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()A.32B．34C.32或3D．34或32解析：如图，由正弦定理得sinC＝c·sinBb＝32，而cb，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴当A＝90°时，S△ABC＝12×1×3＝32；当A＝30°时，S△ABC＝12×1×3×sin30°＝34.答案：D4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，已知c＝3，C＝π3，a＝2b，则b的值为________．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即32＝(2b)2＋b2－2·a·2b·cosπ3，解得b＝3.答案：35．(理)如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22·AC·BC＝4＋12－42×2×23＝32，∴∠C＝30°.在△ADC中，由正弦定理得ADsinC＝ACsin∠ADC，即AD12＝222.故AD＝2.答案：25．(文)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．解析：在△ABC中，S＝12BC·CA·sinC＝12×2·AC·sin60°＝32AC＝3，∴AC＝2.由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2·AC·BC·cosC＝22＋22－2×2×2×12＝4.∴AB＝2.答案：2【考向探寻】1．利用正弦定理解斜三角形．2．利用余弦定理解斜三角形．利用正、余弦定理解三角形【典例剖析】(1)(2013·抚顺模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为A.π6B．π3C.π2D．3π2(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于A．1B．2C.3－1D．3(3)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝4，C＝2A，cosA＝34.①求sinB；②求b的值．题号分析(1)由向量共线得到三边关系，再用余弦定理求解．(2)利用正弦定理求解．(3)①先求sinA，sinC，cosC，利用sinB＝sin(A＋C)求解；②利用正弦定理求解.(1)解析：由p∥q得a＋cb＝b－ac－a，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.又0Cπ，∴C＝π3.答案：B(2)解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sinπ3＝1sinB，∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由ab，得∠A∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.答案：B(3)解：①∵A为△ABC内角，且cosA＝34，∴sinA＝74，又∵C＝2A.∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA＝378，cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝18.∴sinB＝sin(A＋C)＝sinA·cosC＋sinC·cosA＝74×18＋378×34＝5716.②由正弦定理得bsinB＝asinA，∴b＝a·sinBsinA＝4×571674＝5.(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形或由“大边对大角”作出判断．(2)三角形中常见的结论①A＋B＋C＝π.②三角形中大边对大角，反之亦然．③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．④三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.⑤在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.【活学活用】1．(1)若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.154B．34C.31516D．1116解析：由6sinA＝4sinB＝3sinC得sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4，令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k0)，则cosB＝a2＋c2－b22ac＝22＋42－32k22×2k×4k＝1116.答案：D(2)(2012·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.解析：∵cosA＝35，cosB＝513，∴sinA＝45，sinB＝1213，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理知csinC＝bsinB，即c5665＝31213，解得c＝145.答案：145【考向探寻】利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．利用正、余弦定理判定三角形的形状【典例剖析】(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为A．等边三角形B．非等边的等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.①求A的大小；②若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．(2)①正弦定理、条件→cosA＝－12→A的大小；②①中a2＝b2＋c2＋bc→sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC――→条件sinB、sinC的值→判断△ABC的形状(1)解析：因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C＝π－B，所以B＝π3，又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，又B＝π3，故△ABC为等边三角形．答案：A(2)解：①由已知和正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，A＝120°.②由①知，a2＝b2＋c2＋bc，∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，即34＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，∴sinC＝1－sinB，代入上式，(2sinB－1)2＝0，∴sinB＝12，∴sinB＝sinC＝12.又0°B，C90°，∴B＝C，所以△ABC是等腰的钝角三角形．判断三角形形状的方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．【活学活用】2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－12ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－140.则△ABC是钝角三角形．答案：A(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形答案：C解析：因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：a＝2b×a2＋b2－c22ab，整理得b2＝c2，则此三角形为等腰三角形．【考向探寻】1．根据已知条件求三角形的面积．2．已知三角形的面积，解三角形．与三角形面积有关的问题【典例剖析】(1)(2013·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且AC→·AB→＝4，则△ABC的面积等于________．(2)(2012·江西高考)(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.①求证：B－C＝π2；②若a＝2，求△ABC的面积．(1)由条件得cosA＝12，A＝π3；又由AC→·AB→＝4得bc，故△ABC面积可求．(2)①由已知条件可得sin(B－C)＝1，故可得B－C＝π2；②由已知及①求得B，C，根据正弦定理求得b，c，然后求面积．(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又0Aπ，∴A＝π3.又AC→·AB→＝bccosA＝12bc＝4，∴bc＝8.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×8×32＝23.答案：23(2)①证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a及正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，………………2分∴sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22.整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，∴sin(B－C)＝1，……………………………………4分∵0B，C34π，∴B－C＝π2.………………………………………………5分②解：由①知B－C＝π2，又B＋C＝π－A