2014届高考数学一轮复习课件：第三章第7课时正弦定理和余弦定理(新人教A版)资料

第7课时正弦定理和余弦定理2014高考导航考纲展示备考指南掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝_________________；b2＝_________________；c2＝_________________.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝_______，b＝________，c＝___________；sinA＝_____，sinB＝____，sinC＝_____；a∶b∶c＝____________________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝___________；cosB＝___________；cosC＝___________.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2Rb2Rc2Rb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab思考探究在△ABC中，“sinAsinB”是“AB”的什么条件？提示：充要条件．因为sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.课前热身1．(2012·高考广东卷)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析：选B.在△ABC中，ACsinB＝BCsinA，∴AC＝BC·sinBsinA＝32×2232＝23.2．(2013·江西省重点盟校联考)在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C＋3sinBsinC，则角A的值为()A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选A.依题意得a2＝b2＋c2＋3bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－32.又0Aπ，因此A＝5π6，故选A.3．(2013·兰州调研)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3解析：选C.∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝25，B＝π4，sinC＝55，则c＝________；a＝________.解析：根据正弦定理得：bsinB＝csinC，则c＝bsinCsinB＝22，再由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．答案：2265．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°＝ac，即a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形考点探究讲练互动例1考点突破考点1正弦定理和余弦定理的简单应用(2012·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【解】(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB.所以tanB＝3，所以B＝π3.【规律小结】(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.跟踪训练1．(2011·高考辽宁卷)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，∴bsin2A＋bcos2A＝2a.所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12.又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.例2考点2利用正、余弦定理判定三角形形状在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【思维升华】判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪训练2．(1)在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为________；(2)在△ABC中，若b＝asinC，C＝acosB，则△ABC的形状为________．解析：(1)∵sin2A2＝c－b2c，∴1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc.由余弦定理bc＝b2＋c2－a22bc，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．(2)由b＝asinC可知ba＝sinC＝sinBsinA，由c＝acosB可知c＝a·a2＋c2－b22ac，整理得b2＋c2＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，∴sinC＝sinB，∴B＝C，故△ABC为等腰直角三角形．答案：(1)直角三角形(2)等腰直角三角形考点3与三角形的面积有关的问题(2012·高考山东卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.例3【解】(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinBsinAcosA＋sinCcosC＝sinAcosA·sinCcosC，所以sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC.所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，所以sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12＋22－22×1×2＝34.因为0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝74，故△ABC的面积S＝12acsinB＝12×1×2×74＝74.【名师点评】(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．(2)解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用．跟踪训练3．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解：(1)因为cosB＝45，所以sinB＝35.由正弦定理asinA＝bsinB，可得asin30°＝103，所以a＝53.(2)因为△ABC的面积S＝12acsinB，sinB＝35，所以310ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－85ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正、余弦定理实施边、角转换．2．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其他边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其他边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．方法感悟名师讲坛精彩呈现例(本题满分12分)(2012·高考课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.规范解答解三角形【解】(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0分因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.5分由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.7分(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.9分而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．解得b＝c＝2.12分12抓关键促规范利用正弦定理把边换成角，这是解题的关键．你想到用余弦定理找到b、c的关系了吗？12【方法提炼】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式可以联想到正弦定理，出现边的二次式可以联想到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放