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理解函数的概念;掌握简单函数的定义域的求法;掌握求函数解析式的常用方法._________________________________________________________________________1___2ABfABfxfABABxA设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的①,在集合中都有②的数和它对应,那么就称:为从.函数的概念.函数的三要集合到集合的一个函数,其中的取值范围叫函数的③,④叫函数的值域,值域是⑤的子集.⑥素______为函数的三要素.两函数相同,当且仅当⑦._____________3___________4ABfAByfABAB⑧.设、是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的⑨,在集合中都有⑩的元素与之对应,那么就称.函数的表示法.映射的对应:为从集合到概集合念的一个映射. {|}xfxxABx①任意一个数;②唯一确定;③定义域;④;⑤集合;⑥定义域、对应法则、值域;⑦定义域和对应法则完全相同;⑧解析法、图象法、列表法;⑨任意一个【要元素;⑩点指南】唯一确定1.设A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},则f:A→B不是函数的是()A.f:x→y=12xB.x→y=13xC.x→y=14xD.x→y=16x【解析】因为x∈A,y=12x∈[0,3]B.由函数定义可知,对于6∈A,在集合B中找不到对应元素,故f:x→y=12x不是函数.2.下列各组函数中表示同一个函数的是()A.f(x)=x2-1x-1与g(x)=x+1B.f(x)=lgx与g(x)=12lgx2Cf(x)=x2-1与g(x)=x-1.D.f(x)=x2-1x-1与g(t)=t+1(t≠1)【解析】对于A,f(x)的定义域为{x|x≠1},g(x)的定义域为R,不是同一函数.同理,对于B,两函数的定义域不同,而对于C,f(x)=|x|-1,g(x)=x-1,对应法则不同,只有D,定义域相同,又f(x)=x2-1x-1=x+1(x≠1),对应法则相同,因而值域也相同,故为同一函数.3.设一个函数的解析式为f(x)=2x+3,它的定义域为{x∈Z|-1≤x3},则此函数的值域为.【解析】因为f(x)的定义域为{x∈Z|-1≤x3}={-1,0,1,2},所以f(-1)=1,f(0)=3,f(1)=5,f(2)=7,故函数f(x)的值域为{1,3,5,7}.4.函数y=x+2x-1+lg(4-x)的定义域是.【解析】故该函数的定义域为[-2,1)∪(1,4).【解析】若a≥0,则1-12a=a,所以a=23;若a0,则1a=a,所以a2=1,所以a=-1(a=1舍去).综上得a=-1或23.易错点:分段函数在定义域的不同子集上有不同的对应函数关系式,忽视a在不同子集上的变化,多取或少取a值.一函数的定义域【例1】(1)函数y=x2-2x-3+log2(x+2)的定义域是__________;(2)若函数y=12x2+kx+1的定义域为R,则实数k的取值范围是__________.(3)已知函数y=f(x)的定义域是[0,4],则y=f(x+1)+f(x2-3x)的定义域是______________.所以函数y=f(x+1)+f(x2-3x)的定义域是{x|-1≤x≤0或x=3}.【点评】函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合.在一些具体函数综合问题中,函数的定义域往往具有隐蔽性,所以在研究这些问题时,必须树立“定义域优先”的原则.而逆向问题应注意命题的等价转化.(1)若f(x+1)的定义域为[-2,3),则f(2x-1)的定义域为;(2)若函数f(x)=1ex-x+m的定义域为R,则实数m的取值范围是.素材1【解析】(1)因为-2≤x3,所以-1≤x+14.由-1≤2x-14,得0≤x52,故f(2x-1)的定义域为[0,52).(2)由已知ex-x+m≠0对x∈R恒成立,即m≠x-ex对x∈R恒成立.令g(x)=x-ex,则g′(x)=1-ex.由g′(x)=0,得x=0,故函数g(x)在x=0处取得最大值,即g(x)≤g(0)=-1,所以要使m≠x-ex对x∈R恒成立,则应有m-1.二函数的解析式【例2】(1)已知f(x)是一次函数,并且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数f(x)的解析式;(2)已知函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求函数f(x)的解析式;(3)已知2f(x)+f(-x)=3x+2,求f(x).【解析】(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3k(x+1)+3b-2k(x-1)-2b=kx+5k+b=2x+17,所以k=2,5k+b=17,所以b=7,故f(x)=2x+7.(2)方法1:配凑法因为f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-6x-1-6x+5=(3x+1)2-4(3x+1)+8.所以f(x)=x2-4x+8.方法2:换元法令3x+1=t,则x=t-13,所以f(t)=9·(t-13)2-6·t-13+5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.所以f(x)=x2-4x+8.(3)直接列方程组求解.由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换上式中的x,得2f(-x)+f(x)=-3x+2.得f(x)=3x+23.【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题,其特点是类型活,方法多.求函数的解析式常有以下几种方法:①如果已知函数f[f(x)]的表达式,可用换元法或配凑法求解;②如果已知函数的结构,可用待定系数法求解;③如果所给式子含有f(x)、f(1x)或f(x)、f(-x)等形式,可构造另一方程,通过解方程组求解.已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,求f(x)的解析式.素材2【解析】2f(x)+f(1x)=3x,①将①中x换成1x得2f(1x)+f(x)=3x.②由①×2-②得3f(x)=6x-3x,所以f(x)=2x-1x.三综合问题【例3】已知函数f(x)对任意的实数a、b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)求证:f(1x)+f(x)=0(x≠0);(3)若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数),求f(36)的值.【分析】本题是一个抽象函数问题,直接求函数的解析式是不可能的,需通过取特殊值来解决.【解析】(1)不妨设a=b=0.由f(ab)=f(a)+f(b),得f(0)=0.设a=b=1,得f(1)=0.(2)证明:当x≠0时,因为x·1x=1,于是f(1)=f(x·1x)=f(x)+f(1x)=0,所以f(1x)+f(x)=0.(3)因为f(2)=m,f(3)=n,所以f(36)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=2f(2)+2f(3)=2(m+n).【点评】抽象函数由于只给出函数的某些性质,却不知道具体函数的解析式,因而成为函数问题中的一个难点,但这类问题能很好地考查学生的思维能力.解决抽象函数问题,要全面应用其所具有的性质展开解题思路,通常的方法是赋值法,并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型,帮助探求结论,找到解题的思路和方法.(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且f(2)=-1,则f(1)=,f(12)=;(2)已知函数f(x)=x21+x2,则f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=.素材3【解析】(1)令m=n=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.f(1)=f(2×12)=f(2)+f(12)=-1+f(12)=0,所以f(12)=1.(2)由f(x)=x21+x2,知f(1x)=1x21+1x2=11+x2,所以f(x)+f(1x)=1,故原式=11+1+1+1+1=72.备选例题【解析】(1)依题意,0<c<1,所以c2<c.由f(c2)=98,得c3+1=98,所以c=12.(2)f(x)>28+1等价于即24<x<12或12≤x<58.综上所述,所求解集为{x|24<x<58}.1.已知函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如分式的分母不等于零,开偶次方的被开方数不小于零,对数的真数大于零同时底数大于零不等于1,等等.2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法,已知复合函数的问题时用换元法或配凑法,抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法.3.分段函数是指自变量在取值情况不同时,对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的集合.2211()(1)fxxfxxx已知+=+,求-.222211()=()22(1)(1)221.fxxxxfxxfxxxx由已知++,所以=-,所以-=--=-:-错解在使用配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑替换元的等价性,忽视其定义域的变化导错解分析:致错误.2222211()()21||22(2)(1)(1)221|1|2313(1)21(131,)fxxxxxfxxxxfxxxxxxxxfxxxxxx已知+=+-,但+,所以=-,故-=--=--,其中-,正解:-=--所以或-,所以或-,所以或为-所求.
本文标题:2014版高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念及解析式与定义域课件 理 新人教A版
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