2014版高考数学一轮总复习_第9讲_对数与对数函数课件_理_新人教A版 2

理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数．1(01)___________________________.210_____________.3______________.4log1____log____.1xaaaNaaxaNea一般的，如果且，那么数叫做①，记作②，其中叫做对数的③，叫做④以为底的对数叫做⑤，记作⑥以为底的对数叫做⑦，记作⑧负数和零没有对数；⑨，⑩．对数log*10100log______log______log______.2log(01010)(01)loglog(012)ananaacacNmaaaaMNMNMMNlogbbaaccblogaaNaabbaamnN如果且，，，那么①⑪；②⑫；③⑬对数的换底公式及恒等式．对数的运算性质①且，且，；②且；③且，、．__________(01)_3____.aax一般的，我们把函数⑭且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为⑮．对数函数4．对数函数的图象与性质(01)log(01)_______5_______(01){|}|0log(01)|0{|.}xaxayaaayxaayaaaxxyyyxaaxxyyRR指数函数＝且与对数函数＝且互为22，它们的图象关于直线23对称，指数函数＝且的定义域为，值域为，对数函数＝且的定义域为，值域为反函数．【要点指南】1.若a0，a≠1，xy0，n∈N，则下列各式：①(logax)n＝nlogax;②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga1x；④nlogax＝1nlogax；⑤logaxn＝loganx；⑥logax－yx＋y＝－logax＋yx－y.其中正确的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】只有③⑤⑥正确，故选B.2.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝12.【解析】因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.3.计算：(lg14－lg25)÷100－12＝－20.【解析】原式＝－(lg4＋lg25)×10012＝－lg100×10＝－2×10＝－20.4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝log2x.【解析】因为y＝ax的反函数为y＝f(x)＝logax，又f(2)＝1，loga2＝1，所以a＝2，所以f(x)＝log2x.5.已知函数f(x)＝1log122x＋1，则函数f(x)的定义域是()A．(－12，0)B．(－12，0]C．(－12，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】由log12(2x＋1)0＝log121，得02x＋11，所以－12x0，所以－12x0，所以f(x)的定义域为(－12，0)，故选A.一有关对数及对数函数的运算问题【例1】(1)设函数f(x)＝12xx≥4fx＋1x4，则f(log23)＝_______；(2)设3a＝4b＝36，则2a＋1b＝__________；(3)计算：lg5(lg8＋lg1000)＋(lg23)2＋lg16＋lg0.06＋52log53.【解析】(1)因为1log232，所以f(log23)＝f(1＋log23)＝f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝(12)3＋log23＝(12)3·(12)log23＝18×13＝124.(2)由3a＝4b＝36得a＝log336，b＝log436，再根据换底公式得a＝log336＝1log363，b＝log436＝1log364.所以2a＋1b＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.(3)原式＝lg5(3lg2＋3)＋(3lg2)2＋lg(16×6100)＋5log59＝3lg5·lg2＋3lg5＋3lg22－2＋9＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5＋7＝3(lg2＋lg5)＋7＝10.【点评】对数函数的真数与底数应满足的条件是求解有关对数问题时必须予以重视的，另外研究对数函数时尽量化为同底．(1)计算：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝3；(2)已知log89＝a,2b＝5，则lg3＝3a2b＋1(用a，b表示)．素材1【解析】(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.【解析】(2)因为log89＝a，所以a＝2lg33lg2，lg3＝32alg2.又2b＝5，所以b＝log25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝1lg2－1，lg2＝1b＋1，所以lg3＝3a2b＋1.二对数函数的图象与性质问题【例2】已知f(x2－1)＝logax22－x2(a0，且a≠1)．(1)求f(x)的解析式，并判断f(x)的奇偶性；(2)判断函数的单调性；(3)解关于x的方程f(x)＝loga1x.【分析】先用换元法求解解析式，用定义判断奇偶性，证明单调性；解不等式时，注意函数的单调性．【解析】(1)令x2－1＝t，则x2＝t＋1，所以f(t)＝loga1＋t1－t，又x22－x20，所以0x22，所以0t＋12，即－1t1，故f(x)＝loga1＋x1－x(－1x1)．而f(－x)＝loga1－x1＋x＝loga(1＋x1－x)－1＝－loga1＋x1－x＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)设－1x1x21，则1－x11－x20，所以21－x121－x2，1＋x11－x1＝－1＋21－x11＋x21－x2＝－1＋21－x2.(ⅰ)当a1时，loga1＋x11－x1loga1＋x21－x2，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(－1,1)上是增函数；(ⅱ)当0a1时，loga1＋x11－x1loga1＋x21－x2，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(－1,1)上是减函数．(3)由(1)可知，loga1＋x1－x＝loga1x，所以1＋x1－x＝1x－1x1x0⇒x2＋2x－1＝00x1，解得x＝2－1.【点评】解决与对数有关问题，首先要看对数函数定义域，复合函数y＝logaf(x)的单调区间也是y＝f(x)的单调区间．研究由对数函数与其他函数的复合函数要以这两点为解题的突破口．(1)已知log12alog12blog12c，则2a,2b,2c三个数从小到大的排列是2c2b2a.(2)若函数f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数，则a的取值范围是(1,2).素材2【解析】(1)因为log12alog12blog12c，又y＝log12x是减函数，所以abc0，而y＝2x为增函数，所以2a2b2c.(2)因为a0，且a≠1，所以t＝2－ax在(0,1]上为减函数，且t0，所以2－a0，即a2，又f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数，所以y＝logat是增函数，所以a1，故1a2，即a的取值范围是(1,2)．三有关对数函数的综合问题【例3】(2011·长沙模拟)设f(x)＝log121－axx－1为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)(12)x＋m恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)⇒log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1⇔1＋ax－x－1＝x－11－ax0⇔1－a2x2＝1－x2⇒a＝±1.经检验，a＝－1(a＝1舍去)．(2)对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)(12)x＋m恒成立⇔f(x)－(12)xm恒成立．令g(x)＝f(x)－(12)x＝log12(1＋2x－1)－(12)x，g(x)在[3,4]上是单调递增函数，所以mg(3)＝－98，即m的取值范围是(－∞，－98)．已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，又将y＝g(x)的图象向右平移1个单位长度所得图象的解析式为y＝f(x)，且y＝f(x)在[3，＋∞)上总有f(x)1.(1)求f(x)的表达式；(2)求实数a的取值范围．素材3【解析】(1)由已知，y＝g(x)与y＝ax互为反函数，所以g(x)＝logax(a0，且a≠1)，所以f(x)＝loga(x－1)．(2)因为f(x)＝loga(x－1)在[3，＋∞)上总有f(x)1，即loga(x－1)1.所以当a1时，ax－1在[3，＋∞)上恒成立，所以1a2；又若0a1，则loga(x－1)1在[3，＋∞)上不可能恒成立．综上可得，a的取值范围是(1,2)．备选例题已知2x≤256，且log2x≥12，求函数f(x)＝log2x2·log2x2的最大值和最小值．【解析】因为2x≤256＝28，所以x≤8.又log2x≥12，所以x≥2，故x∈[2，8]．因为f(x)＝log2x2·log2x2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2.令log2x＝t，因为x∈[2，8]，所以t∈[12，3]，所以y＝t2－3t＋2＝(t－32)2－14，当t＝32时，即log2x＝32，x＝22时，[f(x)]min＝－14；当t＝3，即log2x＝3，当x＝8时，[f(x)]max＝2.10123．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与比较或与比较．．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型．．解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论．