2019届山东省泰安第一中学高三上学期12月份学情检测数学(理)试题(解析版)

第1页共20页2019届山东省泰安第一中学高三上学期12月份学情检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则为（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】求出集合M，N，然后求解交集即可．【详解】集合M＝{x|0，x∈R}＝{x|x＞1或x≤0}，＝{y|y≥1}，＝{x|x＞1}．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，不等式的解法，是基础题．2．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵170＝1，0＝log171＜c＝log17b＝log16log1616＝1，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．第2页共20页3．已知命题存在，为真命题,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先令y＝cos2x+cosx＝2cos2x+cosx﹣1＝2；再借助于x∈[0，]，求出y的取值范围，最后结合m＝cos2x+cosx即可得出结论．【详解】令y＝cos2x+cosx＝2cos2x+cosx﹣1＝2．∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]．∴y＝cos2x+cosx在x∈[0，]，上是增函数．故ymax＝﹣1，ymin＝2．又∵cos2x+cosx﹣m＝0⇒m＝cos2x+cosx∴m∈[﹣1，2]．故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的最值．在求函数值时，一定要注意结合自变量的取值范围，避免出错．4．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（）A．7B．15C．31D．63第3页共20页【答案】D【解析】试题分析：循环前，第一圈是;第二圈;是第三圈是第四圈;是第三圈;否则输出的结果为63,故选D.【考点】循环结构5．函数是奇函数的充要条件是A．B．C．D．【答案】C【解析】为奇函数，首先，其次恒成立，，即当为奇函数时，一定有，这只有可得，因此选C．【考点】奇函数的定义，充要条件．6．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【答案】B【解析】解出，计算并化简可得出结论．【详解】λ（），∴，∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关第4页共20页键．7．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．2B．22C．32D．42【答案】B【解析】如图在三棱柱111ABCABC中，设0111160AABAAC，由条件有，作111AOABC面于点O，则0111011coscos6013coscoscos3033AABAAOBAO∴16sin3AAO∴1126sin3AOAAAAO∴111111012622sin602223AOABCABCABCVSAO故选B【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；8．已知函数在点处的切线与的图像有三个公共点，则的范围（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着a减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）第5页共20页的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．【详解】当x＞0时，f（x）＝x2+1，则f′（x）＝2x∴f′（1）＝2×1＝2则在点（1，2）处的切线方程为y＝2x当x≤0时，y＝f（x）即（x+2）2+（y﹣a）2＝4（y≥a）作出函数图象如右图随着a减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即a＝2×（﹣4）＝﹣8再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即解得a＝﹣4﹣28∴a的取值范围是故选：D．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．9．等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列结论正确的是（）A．，B．，第6页共20页C．，D．，【答案】C【解析】由题意可得a8+1＞0，a2006+1＜0，且d＜0．把2个已知等式相加，利用立方和公式化简可得a8+a2006+2＝0，再根据S2013，计算求得结果．【详解】已知①，②，∴a8+1＞0，a2006+1＜0，且d＜0．①+②可得（a8+a2006+2）[（a8+1）（a2006+1）2013]＝0，由于（a8+1）（a2006+1）2013＞0，∴a8+a2006+2＝0，∴S20132013，故选：C．【点睛】本题主要考查立方和公式、等差数列的定义及前n项和公式的应用，属于中档题．10．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，第7页共20页A（0，3），化目标函数z＝x+6y为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．故选：C．【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【答案】B【解析】本试题主要是考查了运用三视图还原几何体，并求解几何体的体积的运用。由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1，高为6的圆柱，被截的一部分，如图第8页共20页所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B。解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．12．已知函数，存在，使得函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，∵存在n∈N，使得函数f（x）在区间（n，n+2）上有两个极值点，可得方程f′（x）＝0必有两个不等根，等价于a在区间（n，n+2）上有两个不等根，等价于函数y＝a与g（x）在区间（n，n+2）上有两个不同的交点．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【详解】f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，∵存在n∈N，使得函数f（x）在区间（n，n+2）上有两个极值点，∴方程f′（x）＝0必有两个不等根，等价于a在区间（n，n+2）上有两个不等根，等价于函数y＝a与g（x）在区间（n，n+2）上有两个不同的交点．第9页共20页g′（x），令h（x）＝1﹣x（lnx+1），h′（x）＝﹣（lnx+2）．可得x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0；x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0．∴x＝e﹣2时，函数h（x）取得极大值h（e﹣2）＝1+e﹣2．又h（1）＝0，x→0时，h（x）→1．∴取n＝0，区间为（0，2）．g′（1）＝0．x∈（0，1）时，函数g（x）单调递增；x∈（1，2）时，函数g（x）单调递减．∴x＝1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）．x→0时，g（x）→﹣∞；x＝2时，g（2）．∴实数a的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．若平面向量和互相平行，其中，则________.【答案】2或【解析】由于平面向量和互相平行，利用两向量平行式的坐标形式的等价条件可以求出x的值，再有向量的减法求出的坐标，利用模长公式即可求得．【详解】因为平面向量和互相平行，所以1×（﹣x）﹣x×（2x+3）＝0⇒x＝0，或x＝﹣2，第10页共20页即或，则所以．故答案为：2或．【点睛】此题考查了两向量平行的坐标表示法及方程思想求解未知量x的值，还考查了已知向量的坐标求向量的模．14．平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为_________.【答案】【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos＝，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得x0＝cos＝cos[（）]的值．【详解】∵点在单位圆O上，且，∴cos＝，sin＝，又，且，则，∴＝cosα＝cos[（α）]＝cos（α）cossin（α）sin．故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．15．设Cnnn的三边长分别为na，nb，nc，1n，2，3，，若11bc，第11页共20页1112bca，1nnaa，12nnnacb，12nnnabc，则n的最大值是．【答案】3【解析】试题分析：由12nnnacb，12nnnabc得，111()222nnnnnnnnnacabbcbca，又11nnaaa，所以111112(2)2nnnnbcabca，而1112bca，所以12,nnbca所以22222222111221()23331cos111222222()2nnnnnnnnnnnnnnnnnbcabcabcaaaAbcbcbcbca，所以n的最大值是3.【考点】1.数列的概念；2.余弦定理的应用；3.基本不等式.16．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．【答案】【解析】设，显然．∵点在双曲线上，∴，两式相减得，∴.由，设，则，∴求导得，由得．∴在单调递减，在单调递增，时即时取第12页共20页最小值，∴，∴．三、解答题17．如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，090EDF，BDE，00(090).（1）当3tan2DEF时，求的大小；（2）求DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.【答案】（1）θ＝60；（2）当θ＝45时，S取最小值6332.【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在EDF中，3tan2DFDEFDE，①，而在DBE中，利用正弦定理，用表示DE，在ADF中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得000sin603sin(120)2sin(60)BDDE，第13页共20页在△ADF中，由正弦定理得000sin603sin(30)2sin(30)ADDF．4分由tan∠DEF＝32，得00sin(60)3sin(30)2，整理得tan3，所以θ＝60．6分（2）S＝12DE·DF＝00338sin(60)sin(30)2(3cossin)(cos3sin)