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陈先槟第1页共15页高二数学椭圆试题一:选择题1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.m>2或m<﹣1B.m>﹣2C.﹣1<m<2D.m>2或﹣2<m<﹣1解:椭圆的焦点在x轴上∴m2>2+m,即m2﹣2﹣m>0解得m>2或m<﹣1又∵2+m>0∴m>﹣2∴m的取值范围:m>2或﹣2<m<﹣1故选D2.已知椭圆,长轴在y轴上、若焦距为4,则m等于()A.4B.5C.7D.8解:将椭圆的方程转化为标准形式为,显然m﹣2>10﹣m,即m>6,,解得m=8故选D3.椭圆(1﹣m)x2﹣my2=1的长轴长是()A.B.C.D.解:由椭圆(1﹣m)x2﹣my2=1,化成标准方程:由于,∴椭圆(1﹣m)x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=.故选B.4.已知点F1、F2分别是椭圆+=1(k>﹣1)的左、右焦点,弦AB过点F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为()陈先槟第2页共15页A.B.C.D.解:由椭圆定义有4a=8∴a=2,所以k+2=a2=4∴k=2.从而b2=k+1=3,c2=a2﹣b2=1,所以,故选A5.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,﹣4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()A.(x≠0)B.(x≠0)C.(x≠0)D.(x≠0)解:∵△ABC的周长为20,顶点B(0,﹣4),C(0,4),∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12,∵12>8∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆,∵a=6,c=4∴b2=20,∴椭圆的方程是故选B.6.方程=10,化简的结果是()A.B.C.D.解:根据两点间的距离公式可得:表示点P(x,y)与点F1(2,0)的距离,表示点P(x,y)与点F2(﹣2,0)的距离,所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10,因为|F1F2|=2<10,所以由椭圆的定义可得:点P的轨迹是椭圆,并且a=5,c=2,所以b2=21.所以椭圆的方程为:.故选D.陈先槟第3页共15页7.设θ是三角形的一个内角,且,则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在x轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在y轴上的椭圆解:因为θ∈(0,π),且sinθ+cosθ=,所以,θ∈(,π),且|sinθ|>|cosθ|,所以θ∈(,),从而cosθ<0,从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.故选D.8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解:设点P在x轴上方,坐标为,∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|,即,即故椭圆的离心率e=故选D9.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.解:依题意,设P(﹣c,y0)(y0>0),则+=1,∴y0=,∴P(﹣c,),又A(a,0),B(0,b),AB∥OP,∴kAB=kOP,即==,∴b=c.陈先槟第4页共15页设该椭圆的离心率为e,则e2====,∴椭圆的离心率e=.故选C.10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A.2B.3C.6D.8解:由题意,F(﹣1,0),设点P(x0,y0),则有,解得,因为,,所以==,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2,因为﹣2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值,故选C.11.如图,点F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解:设线段PF的中点为M,另一个焦点F′,由题意知,OM=b,又OM是△FPF′的中位线,∴OM=PF′=b,PF′=2b,由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b,又MF=PF=(2a﹣2b)=a﹣b,又OF=c,直角三角形OMF中,由勾股定理得:(a﹣b)2+b2=c2,又a2﹣b2=c2,陈先槟第5页共15页可求得离心率e==,故答案选B.12.椭圆顶点A(a,0),B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于,则椭圆的离心率e=()A.B.C.D.解:由题意可得直线AB的方程为即bx+ay﹣ab=0,F(c,0)∴F(c,0)到直线AB的距离d==,|AF|=a﹣c则∴a2=3b2∴a2=3a2﹣3c2即3c2=2a2∴=故选B13.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=.则椭圆的离心率的取值范围为()A.[,]B.[,1)C.[,1)D.[,]解:∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2,∴由题意知2c2≤a2≤3c2,∴,陈先槟第6页共15页∴.故椭圆m的离心率e的取值范围.故选A.14.在椭圆中,F1,F2分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.解:根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,将设|PF1|=2|PF2|代入得,根据椭圆的几何性质,|PF2|≥a﹣c,故,即a≤3c,故,即,又e<1,故该椭圆离心率的取值范围是.故选B.二:填空题15.已知F1、F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=3.解:由题意知△PF1F2的面积=,∴b=3,故答案为3.16.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是4<k<7.解:∵+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴k﹣1>7﹣k>0.∴4<k<7.故k的取值范围是4<k<7.故答案为:4<k<7.17.已知椭圆的焦距为2,则实数t=2,3,6.解:当t2>5t>0即t>5时,a2=t2,b2=5t此时c2=t2﹣5t=6解可得,t=6或t=﹣1(舍)陈先槟第7页共15页当0<t2<5t即0<t<5时,a2=5t,b2=t2此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6解可得,t=2或t=3综上可得,t=2或t=3或t=6故答案为:2,3,618.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(﹣4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上,则=.解:利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为19.在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为.解:设切线PA、PB互相垂直,又半径OA垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,故,解得,故答案为.陈先槟第8页共15页20.若椭圆的焦点在x轴上,过点(1,)做圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是.解:设切点坐标为(m,n)则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线方程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0;b﹣2=0解得c=1,b=2所以a2=5故椭圆方程为故答案为三:解答题21.已知F1,F2为椭圆的左、右焦点,P是椭圆上一点.(1)求|PF1|•|PF2|的最大值;(2)若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为,求b的值.解:(1)∵P点在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=|2a=20,∵|PF1|>0,|PF2|>0,∴|PF1|•|PF2|≤=100,∴|PF1|•|PF2|有最大值100.(2)∵a=10,|F1F2|=2c.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,则根据椭圆的定义可得:t1+t2=20①,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,所以根据余弦定理可得:t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4c2②,由①2﹣②得3t1•t2=400﹣4c2,所以由正弦定理可得:=.陈先槟第9页共15页所以c=6,∴b=8.22.如图,F1、F2分别是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.解:(Ⅰ)∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==.(Ⅱ)设|BF2|=m,则|BF1|=2a﹣m,在三角形BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔(2a﹣m)2=m2+a2+am.⇔m=.△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60°⇔=40⇔a=10,∴c=5,b=5.23.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为(a>0,b>0),且可知左焦点为陈先槟第10页共15页F(﹣2,0),从而有,解得c=2,a=4,又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=x+t,由得3x2+3tx+t2﹣12=0,因为直线l与椭圆有公共点,所以有△=(3t)2﹣4×3(t2﹣12)≥0,解得﹣4≤t≤4,另一方面,由直线OA与l的距离4=,从而t=±2,由于±2∉[﹣4,4],所以符合题意的直线l不存在.24.设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率;(2)设点P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,求E的方程解:(I)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得l的方程为y=x+c,其中.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组化简的(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2﹣b2)=0则因为直线AB斜率为1,得,故a2=2b2所以E的离心率(II)设AB的中点为N(x0,y0),由(I)知,.由|PA|=|PB|,得kPN=﹣1,陈先槟第11页共15页即得c=3,从而故椭圆E的方程为.25.设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.解:(I)根据椭圆方程为.∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为,∴=,∵离心率为,∴=,解得b=,c=1,a=.∴椭圆的方程为;(II)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由消去y得,(2+3k2)x2+6kx+3k2﹣6=0,∴x1+x2=﹣,x1x2=,又A(﹣,0),B(,0),∴=(x1﹣,y1)•(﹣x2.﹣y2)+(x2+,y2)•(﹣x1.﹣y1)=6﹣(2+2k2)x1x2﹣2k2(x1+x2)﹣2k2,=6+=8,解得k=.陈先槟第12页共15页26.设椭圆E:,O为坐标原点(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A,B且?若存在,写出该圆的方程,关求|AB|的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组得x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,则△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0,即8k2﹣m2+4>0,要使,需使x1x2+y1y2=0,即,所以3m2﹣8k2﹣8=0,所以又8k2﹣m2+4>0,所以,所以,陈先槟第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