2015届高考数学(理科)一轮总复习课件：8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系(人教A版)

抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[最新考纲展示]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第四节直线与圆、圆与圆的位置关系抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程，其判别式为Δ，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，位置关系列表如下：抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________1．以圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)为切点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏，特别注意当算出的k值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：圆心为(1，－2)，半径r＝6，圆心到直线的距离为d＝|2－2＋5|5＝56，所以直线与圆相交不过圆心．答案：B抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）2．(2013年高考浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r＝5，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝225－5＝45.答案：45抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）圆与圆的位置关系⊙O1、⊙O2半径分别为r1、r2，d＝|O1O2|.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________两圆不同的位置关系与对应公切线的条数当两圆外离时，有4条公切线；当两圆外切时，有3条公切线；当两圆相交时，有2条公切线；当两圆内切时，有1条公切线；当两圆内含时，没有公切线．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3两圆的圆心距离为－2－22＋0－12＝17，则R－r17R＋r，所以两圆相交，选B.答案：B抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）4．(2014年温州十校模拟)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：因为点A，B同时在两个圆上，所以联立两圆方程作差并消去二次项可得直线AB的方程为x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）直线与圆的位置关系【例1】(1)(2013年高考陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)由题意，点在圆外，则a2＋b21，圆心到直线的距离d＝1a2＋b21.故直线与圆相交．(2)解法一(几何法)因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|a－0＋1|2≤r＝2，可得|a＋1|≤2，即a∈[－3,1]．解法二(代数法)联立直线和圆的方程x－y＋1＝0，x－a2＋y2＝2，消去y可得2x2＋(2－2a)x＋a2－1＝0.由题意，判别式Δ＝(2－2a)2－4×2×(a2－1)≥0，解得－3≤a≤1.故选C.[答案](1)B(2)C抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大；(2)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练1．(1)直线x＋y＝5和圆O：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心(2)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：(1)A(2)A解析：(1)圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4.∴圆心为(0,2)．半径r＝2.∴圆心到直线的距离为d＝|0＋2－5|2＝3222.∴直线与圆相离．(2)将点P的坐标代入圆的方程，判断确定．将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－30，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l一定与圆C相交．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）圆的切线、弦长问题【例2】(1)(2013年高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0(2)(2013年高考山东卷)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切得，|b|12＋12＝1.故b＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b＝－2，故直线方程为x＋y－2＝0.(2)设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2，当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦．|CA|＝2－32＋2－12＝2.∴半弦长＝r2－|CA|2＝4－2＝2.∴最短弦长为22.[答案](1)A(2)22.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：由题设知，圆心为(2,2)，半径为2，点(4,6)在圆外．设切线方程为y－6＝k(x－4)，则有：|2k－2－4k＋6|k2＋1＝2.解得k＝34，∴切线方程为y－6＝34(x－4)，即3x－4y＋12＝0.又由图形知x＝4与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切．所以所求直线方程为3x－4y＋12＝0或x＝4.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程(1)几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．反思总结1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组y＝kx＋b，x－x02＋y－y02＝r2，消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2](k为直线斜率)．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）圆与圆的位置关系【例3】(2013年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)由y＝2x－4y＝x－1得圆心C为(3,2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，∴|3k－2＋3|k2＋1＝1，∴|3k＋1|＝k2＋1，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－34，抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）∴所求圆C的切线方程为：y＝3或y＝－34x＋3，即y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以，设圆心C为(a,2a－4)，则圆C的方程为：(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1，又∵MA＝2MO，∴设M为(x，y)，则x2＋y－32＝2x2＋y2整理得：x2＋(y＋1)2＝4设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，∴|2－1|≤a2＋[2a－4－－1]2≤|2＋1|，抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）由5a2－12a＋8≥0得a∈R，由5a2－12a≤0得0≤a≤125，综上所述，a的取值范围为0，125.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：C变式训练2．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为()A．－6B．－3C．－32D．3解析：圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，∴圆C1的圆心C1(－a,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，b)，半径r2＝1.已知两圆恰有三条公切线，则两圆相外切，圆心距等于两圆半径之和，∴a2＋b2＝3，则|a＋b|＝a＋b2≤2a2＋b2＝32，∴－32≤a＋b≤32，故a＋b的