高中不等式知识点+习题(含答案)

-1-不等式总结一、不等式的主要性质：(举例子验证)(1)对称性：abba(2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba（同加c）；dbcadcba,（大+大小+小）(4)乘法法则（变不变号）：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且二、一元二次不等式02cbxax和)0(02acbxax及其解法000二次函数cbxaxy2（0a）的图象))((212xxxxacbxaxy))((212xxxxacbxaxycbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx注意：一般常用求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间三、均值不等式-2-1.均值不等式：如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabbannnaaanaaa21212、使用均值不等式的条件：一正、二定、“三相等（非常重要）”3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即2221122abababab（当a=b时取等）4、柯西不等式：))(()(222212222122211nnnnbbbaaabababa推论：)()(22221221nnaaanaaa四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离，例如|4||2|xx的最小值为___________（答案：2）2、分类讨论思想则不等式：如果,0aaxaxax或||（公式）axaax||（公式）如果0a，则不等式：ax||Rax||3．当0c时，||axbcaxbc或axbc，||axbccaxbc；当0c时，||axbcxR，||axbcx．当0c时，cbax||cbax||4、解含有绝对值不等式的主要方法：公式法步1：是否需对a分类讨论步2：套用公式||(0)xaaaxa，||(0)xaaxa或xa．-3-练习1：4332xx832x练习2：ax32ax32五、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx②无理不等式：转化为有理不等式求解（利用xy的单调性）()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域0)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或2)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf③指数不等式：转化为代数不等式（利用xay的单调性）()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab④对数不等式：转化为代数不等式（利用xyalog的单调性）()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx六、三角不等式：|b||a||ba||b|-|a|七、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法）、综合法（由已知推结论）、分析法（由结论到已知）、换元法、反证法、放缩法。八、数轴穿跟法:奇穿，偶不穿例题：不等式03)4)(23(22xxxx的解为（）A．－1x≤1或x≥2B．x－3或1≤x≤2C．x=4或－3x≤1或x≥2D．x=4或x－3或1≤x≤21.标根法对应的形式是：0)(,0)(,0)(,0)(xfxfxfxfStep1：将最高次项系数化正（注意不等式变不变号），然后因式分解Step2：在数轴上从小到大标根（各根的间距随便取）Step3：奇穿，偶不穿Step4：若不等式有等号，所有数轴上的根打黑点（打大点）——保留若不等式没有等号，所有数轴上的根打圆圈（打大点）——扣掉-4-2.如何解分式不等式：0)()(,0)()(,0)()(,0)()(xgxfxgxfxgxfxgxf步骤：不等式解集解集（标根法）解集不等式解集解集（标根法）解集不等式解集解集（标根法）解集不等式解集解集（标根法）解集取交集取交集取交集取交集210)(0)()(210)(0)()(210)(0)()(210)(0)()(xgxgxfxgxgxfxgxgxfxgxgxf九、零点分段法（两个绝对值的情况）例题：求解不等式：|21||2|4xx．提示：先求出两个根，假设12xx，分类讨论（三种情况）解：①当2xx时，。。。。。。②当21xxx时，。。。。。。③当1xx时，。。。。。。综上，解集为。。。。。。十、练习试题1．下列各式中，最小值等于2的是（）A．xyyxB．4522xxC．1tantanD．22xx2．若,xyR且满足32xy，则3271xy的最小值是（）A．339B．122C．6D．73．设0,0,1xyxyAxy,11xyBxy，则,AB的大小关系是（）A．ABB．ABC．ABD．AB4．函数46yxx的最小值为（）A．2B．2C．4D．65．不等式3529x的解集为（）A．[2,1)[4,7)B．(2,1](4,7]C．(2,1][4,7)D．(2,1][4,7)-5-6．若0ab，则1()abab的最小值是_____________。7．若0,0,0abmn，则ba,ab,mamb,nbna按由小到大的顺序排列为8．已知,0xy，且221xy，则xy的最大值等于_____________。9．设1010101111112212221A，则A与1的大小关系是_____________。10．函数212()3(0)fxxxx的最小值为_____________。11．求证：221ababab答案：1-5：DDBAD6.37.abmambnbnaba8.29.A110.911.提示：（做差法）先两边乘以2，左边减去右边，然后配完全平方式，以判断符号