高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第6节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第六节对数与对数函数考纲传真1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．x＝logaN菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：＝；②logaab＝b(a0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝，②logaMN＝，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．NlogcblogcalogaM＋logaNlogaM－logaN菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．对数函数的定义、图象与性质定义函数(a＞0且a≠1)叫做对数函数a＞10＜a＜1图象定义域：.值域：.当x＝1时，y＝0，即过定点当0＜x＜1时，y＜0;当x＞1时，.当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，.性质在(0，＋∞)上为在(0，＋∞)上为y＝logax(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1,0)y＞0y＜0增函数减函数菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．y＝logaxy＝x菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x()(2)当x1时，logax0()(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同()(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A.12xB．2x－2C．log12xD．log2x【解析】由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由对数的运算公式loga(bc)＝logab＋logac可判断选项C，D错误．选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒lgblga·lgblgc＝lgalgc⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立．选项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝logcb，故恒成立．【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.【解析】∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1对数的运算【例1】(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n；(2)计算1－log632＋log62·log618log64；(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)．【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解；(3)利用换底公式和对数的运算性质求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，(2)原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．ab＝N⇔b＝logaN(a0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(1)(2012·安徽高考)(log29)·(log34)＝()A.14B.12C．2D．4(2)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.【解析】(1)法一原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.法二原式＝2log23·log24log23＝2×2＝4.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m2＝10，∴m＝10.【答案】(1)D(2)10菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2对数函数的图象及其应用【例2】已知函数f(x)＝|lgx|0＜x≤10，－12x＋6x＞10，若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】画出f(x)的图象，确定a、b、c的范围．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知0a1,1b10,10＜c＜12，又|lga|＝|lgb|，所以－lga＝lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10,12)，故选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.本题根据|lga|＝|lgb|得到ab＝1是求解的关键．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．3．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2012·课标全国卷)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由0＜x≤12且logax＞4x＞0得0＜a＜1，在同一坐标系中画出函数y＝4x(0＜x≤12)和y＝logax(0＜a＜1,0＜x≤12)的图象，如图所示：菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）由图象知，要使当0＜x≤12，4x＜logax，只需loga12＞4，即loga12＞logaa2，∴a2＞12，∴a＞22或a＜－22，又0＜a＜1，∴22＜a＜1.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3对数函数性质的应用【例3】已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.【思路点拨】(1)由ax－1＞0求定义域；(2)在f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝y2－y1x2－x1＞0即可．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由ax－1＞0，得ax＞1＝a0.∴当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.∴当a＞1时，f(x)的定义域是(0，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的定义域是(－∞，0)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1＜x2，则直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1.当a＞1时，由(1)知0＜x1＜x2，∴1＜ax1＜ax2，∴0＜ax1－1＜ax2－1，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）∴k＝y2－y1x2－x1＞0；当0＜a＜1时，由(1)知x1＜x2＜0，∴ax1＞ax2＞1，∴ax1－1＞ax2－1，∴k＝y2－y1x2－x1＞0.所以，函数f(x)图象上任意两点连线的斜率大于0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.(1)注意参数a影响函数的定义域，应分类讨论；(2)第(2)问的实质是判定函数