第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开

第六节Taylor级数与函数的幂级数展开二、函数展开为幂级数一、Taylor级数三、实函数的幂级数展开四、Taylor公式nnnfzDaDdaDddistaDzadfafzzan()+0()(,)-()()=()!若函数在区域解析，，为到的边界各点的最短距离，即.则当时，BadadBadD(,)(,).表示以为圆心，为半径的圆，rz-ard取使得，1、定理1（Taylor展开定理）证明：显然有，zBad(,)对，fzzar()-在闭圆内解析。一、Taylor级数{}rK:ar现记圆周，Cauchy由积分公式，rKffzdiz1()()=2zaza11()()111zaaa01nnzaaannnzaa10()()1zaa由，有rnnKnzafzfdia101()()=()2()rnnKnfzadia101()=======()2()关于一致收敛rnnKnfdzaia101()=()2()nnnfazan()0()=()!证毕nnTaylorTafzafacTaylornylor()()()!级数展上式右端的级数称为在点的，开式或。称为系数。nnnfMarclaurinafzzfzn()+0(0)0()=()!若，称为的级数。zfze()例1，nzfze()()则，nf()(0)1，故nznzen0!R(收敛半径为）nnnnnfzafzafzczafacn0()()()()(),()2!设在点解析，若在点的幂级数展开式为定理则2、Taylor展开的唯一性证明：afzfza()()的某邻域，在该邻域内可以展开为幂级数在点解析a故，在的某个邻域内，nnfzcczaczacza2012()()()()nnfzcczancza112'()2()()nnfzcczacnnza223()232()(1)()nnnfzcncnnza()1()!(1)2()za在以上各式中取，可得fac0(),fac1'(),fac2()2,nnfanc(),()!,故nnfacn()()!证毕fzafzaTaylorRafzabRab()()()-若在点解析，那么使在点的展开式成立的圆域半径等于到的距最近的一个奇点之间的距离，即注：fzzz12()(1)(2)例，12zz有两个奇点和＝。nnnfzzicziTaylor0()()在的领域内可以展开成的级数,12Ri使该级数成立的圆域半径为二、函数展开为幂级数ln(1)3(1),(1)aazazez例设（称为的主值支），求它的Marclaurin展开式。1、直接展开法套用Taylor展开定理，计算函数的各阶导数。解：zfzzMarclaurinln(1)1()1首先，由于在往左的负实轴上不解析，只能在内展开为级数。aazfzzeln(1)()(1),记azaafzfzezzln(1)()'(),11zfzafz1'()(),可得（＋）1n两边求阶导，得nnnzfznfzafz()(1)(1)(1)()(1)()(),整理得nnzfzanfz()(1)(1)()(1)(),0z令，并由此递推关系，得f(0)1,fa'(0),faa(0)(1),,nfaaan()(0)(1)(1),annfzMarclaurinaaanf(z)=1+zzzn1()(1)(1)()1,(1)!故的展式为12aa特别地，当和时，有nnzzz01(),(1)1nnnnzzz11211(1),(1)(1)2、间接展开法利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质，以求得目标函数的展开式。zzz4sincos例把和展开为的幂级数。解：izizeezcos2又，nniziznnizizeenn00()(),!!故nnnizizznn01()()cos2!!nnnniizn01()2!knnnkiink22(1),()210,由于故kkkzzk2012(1)cos2(2)!kkkzk20(1)(2)!即nnzzzzzn2462cos1(1)2!4!6!(2)!同理可得nnzzzzzn3521sin(1)3!5!(21)!zsin考虑用幂级数的逐项求导来获得的展开式?zfzffzdz0()(0)'()fzzz5()ln(1)例把函数展开为的幂级数。解：fzzz1'()[ln(1)]'1nnz0()z(1)逐项积分，得znnzdz00()znnnzdz00(1)nnnzn10(1)1f(0)0,又nnnzzzn10(1)ln(1),(1)1故必须熟记的几个基本的展开式:ze(1)z(2)sinnnnzzzzzRnn2301,()!23!!nnnnnznzzzzRn2103521(1)(21)!(1),()3!5!(21)!z(3)cosnnnnnznzzzRn20242(1)(2)!1(1),()24!(2)!nnnnznnzzznR02(1)(1)1!(1)(1)(1)1,2!(1)z(4)ln(1)nnnnnznzzzzRn10231(1)1(1),(1)231z(5)(1)nnnnnzzznzzz0201(),(1)11(1)(1),(1)(1)其中，＋＋fzaz216()-1(1)例把函数在点展开为幂级数。解：zz2211(1)[(1)2]z22112(1)2nnzn12111()22nnnnz111(1)2(12)zzfzezMarclaurin7()sin例把函数的展开式。解：izizzzeeezeisin2izizeei(1)(1)2nnnnnnizizinn001(1)(1)2!!nnnniizin01(1)(1)2!ininnnnneezin4401(2)(2)2!ininnnneezni440(2)!2nnnnzn0(2)sin!4fzzzz218()(1)43例把函数展开为的幂级数。解：fzzzzz211()43(1)(3)=zz111231zz113(1)4z1212(1)nnnz10(1)4z,(14)zz111(1)2z1414(1)nnnz10(1)2z,(12)nnnnnnzzfz11001(1)(1)()[]242故nnnnz110111()(1)224nnnnz123021(1)2，z(12)afxfx()():在定理一中，将取为实数，为实函数，就可得到实函数的幂级数展开式三、实函数的幂级数展开nnnfafxxan()+0()()=()!在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式的收敛区间。注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛散情况。几个基本的展开式:xe(1)x(2)sinnnnxxxxxxnn2301,!23!!nnnnnxnxxxxxn2103521(1)(21)!(1),3!5!(21)!x(3)cosnnnnnxnxxxxn20242(1)(2)!1(1),24!(2)!nnnnnxnxxxxxn2103521(1)21(1),113521x(4)ln(1)nnnnnxnxxxxxn10231(1)1(1),11231x(5)arctannnnnxnnxxxnx02(1)(1)1!(1)(1)(1)1,2!11nnnnnnnxxxnxxxn1220111(1)(1),(11)(1)(21)!!(1)1(1),(11)(2)!!＋x(6)(1)xa-11-11（6）在恒成立，但当取不同值时，端点、处的收敛情况是说明：不同的。xxx29arctanln1例求函数的Marclaurin展式。解：nnnxxn210arctan(1),21xx221ln1ln(1)2nnnxn220(1),22nnnxn2(1)01(1)21nnnnnnxxxx=xxnn2122200(1)arctanln1(1)2122nnn=xnn22011(1)()2122nnn=xnn220(1),(21)(22)x(11)x(11)x(11)nnzn0(1)10(2)!例求幂级数的和函数与收敛半径。nnn0111(21)2例证明级数收敛,并求其和。knknknnfxxanfaPxxakfafafafaxaxanxanfxa()0()2()()()()!()()()'()()()(Taylo)2(r!)设实函数在点处有阶导数，称多项式为点的阶在多项式。四、Taylor公式nknknnkPxfxfaRxfxPxfxxak()0()()()()()()()()!当用近似替代时，误差为nnnfxxanfRxxaaxn(1)1()1()()(-)!Lagrange若在点有阶导数，则，(其中是介于与之间的数)称为余项。nnfxxanRxoxa()()((Peano))若在点有阶导数，则，称为余项。nRx()误差有多种表示形式。