2014高三数学一轮复习：3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[备考方向要明了]考什么怎么考1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值，如2012年高考T11,2011年高考T7.2.考查形式有解答题和填空题.[归纳知识整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝cos(α±β)＝tan(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋π2(k∈Z)，可利用诱导公式化简．[探究]1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝cos2α＝＝＝tan2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α[探究]2.二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．[自测牛刀小试]1．计算cos28°cos17°－sin28°sin17°的结果等于_____.解析：原式＝cos(28°＋17°)＝cos45°＝22.答案：222．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为_____.解析：tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.答案：13．(2012·苏锡常镇四市模拟)已知钝角α满足cosα＝－35，则tanα2＋π4的值为________．解析：因为cosα＝－35，且α为钝角，所以sinα＝45，即tanα＝2tanα21－tan2α2＝－43，解得tanα2＝－12或2.又因为α为钝角，所以α2为锐角，故tanα2＝2，所以tanα2＋π4＝1＋21－2＝－3.答案：－34．(教材习题改编)已知cosα＝35，0＜α＜π，则cosα－π6＝________.解析：∵cosα＝35，0＜α＜π，∴sinα＝45，∴cosα－π6＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＝32cosα＋12sinα＝32×35＋12×45＝4＋3310.答案：4＋3310解析：在△ABC中，∵cosA＝45，0＜A＜π，得sinA＝35.∴tanA＝sinAcosA＝34.∴tan2A＝2tanA1－tan2A＝247，tan2B＝2tanB1－tan2B＝－43，∴tan(2A＋2B)＝tan2A＋tan2B1－tan2A·tan2B＝44117.答案：441175．(教材习题改编)在△ABC中，cosA＝45，tanB＝2，则tan(2A＋2B)＝________.三角函数式的化简[例1](1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.[自主解答](1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.————————————————————————————————————————————1.三角函数化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：1化为特殊角的三角函数值；2化为正、负相消的项，消去求值；3化分子、分母出现公约数进行约分求值.1．化简下列各式：(1)sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1sin2α；(2)sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°解：(1)原式＝2sinα2cosα2－2sin2α22sinα2cosα2＋2sin2α24sinα2cosα2cosα＝cosα2－sinα2cosα2＋sinα2sinα2cosα2cosα＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2cosα＝tanα2.(2)∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°.∴sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.三角函数的求值问题[例2](2012·广东高考)已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．[自主解答](1)因为fπ3＝2，所以Acos14×π3＋π6＝Acosπ4＝22A＝2，所以A＝2.(2)由(1)知f(x)＝2cosx4＋π6，f4α＋4π3＝2cosα＋π3＋π6＝－2sinα＝－3017，所以sinα＝1517.因为α∈0，π2，所以cosα＝817；又因为f4β－2π3＝2cosβ－π6＋π6＝2cosβ＝85，所以cosβ＝45.因为β∈0，π2，所以sinβ＝35.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.—————————————————————————————————————————解决三角函数的给值求值问题的方法三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系．2．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.三角函数的求角问题[例3]若sinA＝55，sinB＝1010，且A，B均为钝角，求A＋B的值．[自主解答]∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22，①又∵π2＜A＜π，π2＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π，②由①②知，A＋B＝7π4.解：∵A，B均为锐角，且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝1－sin2A＝255，cosB＝1－sin2B＝31010，若将“A，B均为钝角”改为“A，B均为锐角”，如何求解？∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝255×31010－55×1010＝22.又∵A，B∈0，π2，∴A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝π4.———————————————————————————————————————————2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．1．解决给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出要求的角．3．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β.解：(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.故tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.1组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧——拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β等．(2)互余与互补关系π4＋α＋π4－α＝π2；π3＋α＋π6－α＝π2；3π4－α＋π4＋α＝π；π6＋α＋5π6－α＝π；…3个变化——应用公式解决问题的三个变化角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．易误