必修五解三角形常考题型

必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.例2在ABC中，已知c=2+6，C=30°，求a+b的取值范围。考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，2a·tanB=2b·tanA，判断三角形ABC的形状。例4在△ABC中，如果lglglgsinlg2acB，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证2222220coscoscoscoscoscosabbccaABBCCA.例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证22cbab.考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若252,,cos425BaC,求△ABC的面积S.例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且3C,求△ABC的面积S的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足cotcot,abaAbB求内角C例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos4cos3AbBa，求a,b及△ABC的内切圆半径。『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1）在△ABC中，23,6,30,;abAB求（2）在△ABC中，23,2,60,;abAB求易错点忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。例2在△ABC中，若3,CB求cb的取值范围。『高考真题评析』例1（2010·广东高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若1,3,2,abACB则sin_______C例2（2010·北京高考）如图1-9所示，在△ABC中，若21,3,,3bcC则_________.a图1-9例3（2010·湖北高考）在△ABC中，15,10,60,abA则cosB等于（）22.3A22.3B6.3C6.3DABC2331a例4（2010·天津高考）在△ABC中，cos.cosACBABC（1）求证BC；（2）若1cos3A，求sin43B的值。1.1.2余弦定理『典型题剖析』考察点1：利用余弦定理解三角形例1：已知△ABC中，3,33,30,bcB求A，C和a。例2：△ABC中，已知26,623,43abc，求A，B，C考察点2：利用余弦定理判断三角形的形状例3：在△ABC中，已知3,abcabcab且2cossinsinABC，试判断△ABC的形状。例4：已知钝角三角形ABC的三边,2,4,akbkck求k的取值范围。考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，（1）求证coscos;aBbAc（2）求证221coscos.222CAaabc例6在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。（1）求证222sin;sinABabcC（2）求证cossincossinacBBbcAA考察点4：正余弦定理的综合应用例7：在ABC中，已知31,30,baC求,.AB例8：设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2223,bcabc（1）求A的大小；（2）求2sincossinBCBC的值。例9：设ABC得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos3,sin4.aBbA（1）求边长a；（2）若ABC的面积S=10，求ABC的周长l。『易错疑难解析』易错点利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。例1：在ABC中，已知coscos,aAbB试判断ABC的形状易错点易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的b＞a就是一个重要条件。例2：在ABC中，已知2,22,15,abC求A。『高考真题评析』例1：（2011.山东模拟）在ABC中，D为BC边上一点，3,2,135,BCBDADADB若2,ACAB则__________.BD例2：（2010.天津高考）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若223,sin23sin,abbcCB则A等于（）A．30°B.60°C.120°D.150°例3：（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A.2sin2cos2aaB.sin3cos3aaC.3sin3cos1aaD.2sincos1aa例4：（2010.安徽高考）设ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，且22sinsinsinsin33ABBB。（1）求角A的值；（2）若12,27ABACa，求b，c（其中b＜c）例5：（陕西高考）如图1-15所示，在ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。图1-15例6：（2010.江苏高考）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若6cos,baCab求tantantantanCCAB的值。ABCD必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。解：::1:2:3,A.,,,63213::sin:sin:sinsin:sin:sin::11:3:2.63222ABCBCABCabABC而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，已知c=2+6，C=30°，求a+b的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，c=2+6，∴由正弦定理得：26,sinsinsinsin30abcABC∴a=2(2+6)sinA,b=2(2+6)sinB=2(2+6)sin（150°-A）.∴a+b=2(2+6)[sinA+sin(150°-A)]=2(2+6)·2sin75°·cos(75°-A)=226cos(75°-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值226=8+43；②∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞226cos75°=226×624=2+6.综合①②可得a+b的取值范围为(2+6,8+43考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，2a·tanB=2b·tanA，判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：22sinsin2Rsin2RsincoscosBAABBA,sincossincos,AABB即sin2sin2AB，2222ABAB或，2ABAB或.∴ABC为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在△ABC中，由sin2sin2AB得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=2”的导出过程。例4在△ABC中，如果lglglgsinlg2acB，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：2lgsinlg2,sin2BB.又∵B为锐角，∴B=45°.由2lglglg2,.2caca得由正弦定理，得sin2sin2AC,∵18045,AC代入上式得：2sin2sin135CC2sin135coscos135sinCC2cos2sin,CCcos0,90,45.CCAABC为等腰直角三角形。考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证2222220coscoscoscoscoscosabbccaABBCCA.【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222abc，，转化为222sin,sin,sinABC.证明：由正弦定理的变式a2sin,2sinRAbRB得：2222224sin4sin=coscoscoscosabRARBABAB2224[coscos]coscosRAB（1-A）-(1-B)222(coscos)4(coscos)coscosBARBAAB同理2222224(coscos),coscos4(coscos).coscosbcRCBBCcaRACCA2=4(coscoscoscoscoscos)0RBACBAC左边右边等式成立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证22cbab.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：180,180.ABCBCA2,.CBCBB又sin()sin(180)sin,BCAA2222222224(sinsin)4(sinsin)(sinsin)42sincos2cossin22224sin()sin()4sinsin.cbRCBRCBCBBCCBBCCBRRCBCBRABab右边等式成立.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。,,,2222222.ABCABCABCABC（1）(2)sin()sin,cos()cos,tan()tan.ABCABCABC(3)sincos,cossin,tan22222cot.2ABCABCABC(4)sin(22)sin2,cos(22)cos2,tan(22)tan2.ABCABCABC考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若252,,cos425BaC,求△ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c，再求面积。解：由题意25cos25B，得23cos2cos1,25BB∴B为锐角，4372sin,sinsin()sin(),5410BABCB由正弦定理得10,7c111048sin2.22757SacB【解题策略】