2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年重庆，理1】已知集合1,2,3A，2,3B，则（）（A）AB（B）AB（C）ABÜ（D）BAÜ【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}BABABA，且，故选D．（2）【2015年重庆，理2】在等差数列na中，若24a，42a，则6a（）（A）1（B）0（C）1（D）6【答案】B【解析】利用264+2aaa可求得60a，故选B．（3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（）（A）19（B）20（C）21.5（D）23【答案】B【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32．中位数是20+20202，故选B．（4）【2015年重庆，理4】“1x”是“12log20x”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】12log(2)01xx，故选B．（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）13（B）23（C）123（D）223【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：211(1)212113223，故选A．（6）【2015年重庆，理6】若非零向量,ab满足22||||3ab，且32abab，则a与b的夹角为（）（A）4（B）2（C）34（D）【答案】A【解析】()(32)()(32)0abababab，结合22||||3ab，可得2||3abb，2cos,,,[0,],24||||ababababab，故选A．（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）（A）34s（B）56s（C）1112s（D）1524s【答案】C【解析】10,022skks是，是，114+24ks，是，1116++246ks，是211118+++2468ks，否，判断框内应该填11111++=24612s，故选C．（8）【2015年重庆，理8】已知直线l：10xayaR是圆C：224210xyxy的对称轴，过点4,Aa作圆C的一条切线，切点为B，则||AB（）（A）2（B）42（C）6（D）210【答案】C【解析】22:-2-14Cxy，其圆心坐标为2,1C（），半径2r．由题意可知直线:10()lxayaR是圆的直径所在直线，它过圆心2,1C（），所以21101(4,1)210aaAAC．由几何图形可知，224046ABACr，故选C．（9）【2015年重庆，理9】若tan2tan5，则3cos()10sin()5＝（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】C【解析】2sin5tan2tansincos5cos5，3cos()cos[()]sin()sincoscossincos1052555sin()sin()sin()sincoscossincos55555将式带入上式可得：3cos()103sin()5，故选C．（10）【2015年重庆，理10】设双曲线222210,0xyabab的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于,BC两点，过,BC分别作,ACAB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）（A）1,00,1（B）,11,（C）2,00,2（D）,22,【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),bbAaFcBcAFcaBFaa．在RtABD中，由射影定理有：22222()()()bBFcacaaBFAFDFDFAFcaa．即点D到直线BC的距离为22()()cacaa，由题意得：22()()cacaa2201baabaca．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bkka，故选A．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年重庆，理11】设复数i,ababR的模为3，则iiabab．【答案】3【解析】复数i(,)ababR的模为2222333abab．22(i)(i)3ababab．3（12）【2015年重庆，理12】5312xx的展开式中8x的系数是（用数字作答）．【答案】52【解析】715352155117()()1582222rrrrrrrrTCxCxrx．故351()2xx的展开式中8x的系数为2521522C．（13）【2015年重庆，理13】在ABC中，0120B，2AB，PABC的角平分线3AD，则AC．【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin451530sinsin2ADABADBADBBADBACBADB，30C，再由正弦定理可得：6sinsinACABACBC．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）【2015年重庆，理14】如图，圆O的弦,ABCD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若6PA，9AE，3PC，:2:1CEED，则BE．【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PAPCPDPDCDCEED．再由相交弦定理可得：2AEBECEDEBE．（15）【2015年重庆，理15】已知直线l的参数方程为11xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为235cos24(0,)44．则直线l与曲线C的交点的极坐标为．【答案】2,【解析】直线l的直角坐标方程为2yx．222222cos24(cossin)44.xy由222240yxxxyy222xy．由35sin0=44y及．故直线l与曲线C的交点的极坐标为2,（）．（16）【2015年重庆，理16】若函数()1fxxxa的最小值为5，则实数a__．【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：fx在a处取得最小值5，所以|1|56aa；（2）当1a时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：fx在a处取得最小值5，|1|54aa，综上，可得实数a6或4．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到一个”，则11123531014CCCPAC．（Ⅱ）X所有可能取值为0,1,2，且383107015CPXC，12283107115CCPXC，21283101215CCPXC．故分布列见表：X0124且77130121515155EX（个）．（18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设2sinsin3cos2fxxxx．（Ⅰ）求fx的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论fx在2,63上的单调性．解：（Ⅰ）由题213cossin3cossin21cos222fxxxxxx3sin232x，故fx的最小正周期T，最大值为232．（Ⅱ）由2,63x知023x，从而当0232x即5612x时，fx单调递增；当223x即52123x时，fx单调递减．因此，fx在5,612单调递增，在52,123单调递减．（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，3PC，2ACB，,DE分别为线段,ABBC上的点，且2CDDE，22CEEB．（Ⅰ）证明：DE平面PCD；（Ⅱ）求二面角APDC的余弦值．解：（Ⅰ）因PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE．又2CDDE，2CE，故CDE为等腰直角三角形，且CDDE．因PCCDC，PC平面PCD，CD平面PCD，所以DE平面PCD．（Ⅱ）如图，取CE的中点F，连DF．由（Ⅰ）知CDE为等腰直角三角形，故DFCE，1DFCFFE．又2ACB，故//DFAC，因此23DFFBACCB，从而32AC．以C为原点，,,CACBCP的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz．则0,0,0C，3,0,02A，0,2,0E，1,1,0D，0,0,3P，故1,1,02DA，1,1,3DP，1,1,0DE．设1111,,nxyz为平面APD的法向量，则1100nDAnDP即111112030xyxyz，取11y得12,1,1n．由（Ⅰ）知DE平面PCD，故DE即为平面PCD的法向量．因1113cos,6||||nDEnDEnDE，故所求二面角APDC的余弦值为36．（20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数23xxaxfxaRe．（Ⅰ）若fx在0x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（Ⅱ）若fx在3,上为减函数，求a的取值范围．解：（Ⅰ）由题2226336xxxxxaexaxexaxafxee，因fx在0x处取得极值，故00f，得0a．因此23xfxxe，263xfxxxe．从而31fe，31fe，所以曲线yfx在P715715115zyxFPEDCBA5点1,1f处的切线方程为331yxee即30xey．（Ⅱ）由题知0fx对3x恒成立，故2360xaxa即3311axx对3x恒成立．显然3311gxxx在3,单调递减，故max932gxg，所以92a，即a的取值范围为9,2．（21）【2015年重庆，理21】（本题满分1