机械系统动力学第7章

第七章基于有限元法的振动分析7．1弹性力学基础：方向变形场：非线性的格林应变张量线性的柯西应变张量应力张量iiu1,2,3i1x2x3x1()2jikkijkjiijuuuuxxxx1()2jiijjiuuxx,ijijklklklDD弹性模量：各向同性时：式中，克罗尼科尔符号：()ijklijklikjliljkDG2,,,1,2,3ijklijklikjlDGijkl10ijijij2000000000000000000000020000000002ijklGGGGGGDGGGGG式中：E为弹性模量，v为泊松比二维时：一维时：(1)(12)2(1)EvvvEGv2000000002ijklGGGDGGG2ijklDEG不同应力状态下弹性模量（对称阵）的表达：——变形能1．三维应力状态材料各向同性时：式中：2．平面应变状态3．平面应力状态4．单轴应力状态ijklD2ijklijklD(,,,1,2,3)ijkl()ijklijklikjliljkDG2ijklijklikjlDG(1)(12)2(1)EvEGvvv1323330,(1)(12)2(1)EvEGvvv1323330212(1)EvEGvv11112DGE广义虎克定理:则应力可表为：或:1112132122233132332000000000000000000000020000000002ijijklklGGGGGGDGGGGG2ijijijkkkG1111112233121222221122332323333311223331312(),22(),22(),2GGGGGG举例：拉压杆的变形与应变、应力：由边界条件设变形场为:解得：变形场：（线性）柯西应变：说明杆的应变为常数。F1x1u2u111120,0,xuuxluu1uabx20,/abul211uuxl1112121112211112111,022uuuuuuxxxlxx12111uuxl（非线性）格林应变：是精确的，与端位移成非线性。问题关建是确定变形场再举拉压杆为例：已知两端位移为，设方向对应位移场为，故设有：211112222111111111122uuuuuuuuxxxxxxll2221112uull12,uu12,xx12,uu12,0uabxu由边界条件可得方向位移场则可得对应柯西张量的线性应变和格林张量的非线性应变：11120,,xuuxluu1x21111uuuuxlLijnij221212111111221221200Lnuuuuuulll7．2有限元基础插值理论（真实）精确函数，插值函数希望通过插值函数得到精确函数7．2．1拉格朗日插值：在特定点P处两函数值相等，插值函数的构成是形函数，是结点函数值，如结点位移。ff精确插值ffff1,2,,PPffpn11,2,,PPPfNupnPNPu形函数构成——范德蒙阵，——基向量要注意基向量的完备性，不持没有根据的偏向性。将代入，注意到为插值函数在p点处的值PprrrNazprarz2311122121212123121323111vxxxzxxxxxxxxxxxxxxxPprrrNaz11,2,,PPPfNupnpufpf,prrpprrpprprfazuazf同时，将任一点q的位置坐标代入插值函数的基向量，则可得点q处函数值：因为，对照上式有：即矩阵形式表为由得形函数：frzqf,qprrqpprfazfqpqppffprrqpqraz1prrqaz1,azIazPprrrNaz1prprrNzz拉压杆单元为例：杆具有两结点位移，故取基向量的项数为2：杆始端处杆末端处将点的位置坐标代入基向量得：rz11rzx11,0px21,pxl12,pprz110rpzl求逆后得形函数所需的范德蒙阵：得形函数为：变形场为：应变：应力：pra1111/10101/prrpllazll111111/11//01/pprrrprxllNazzzxxll1121TPPppxxuNuNuuull1211uuuxl21uuEEl6结点平面三角单元基向量，点坐标122112221rxxzxxxx0101/21/2000101/21/2ipx将点坐标代入基向量得，求逆后得形函数所需的范德蒙阵：得形函数：rzrpzpra11111111332420100.50.5001020000100.50.5001002,0100.250.25004044000000.25000004000100.250.25004044rpprrpzaz221211222112122211121222122133242224444444pprrrprxxxxxxxxxxNazzzxxxxxxxxxx7．2．2高阶插值（Hermite插值）真实函数和插值函数在特征点p处不再单纯是函数值相等，而是要满足经某种运算后仍相等：——某特定算子插值函数的构成：形函数构成：ffppDfDf()D1PPPfNDf1()pprrrprrrNazDzz平面弯曲梁单元的变形场：梁单元边界位移和基向量为：对应四个算子为：purz010234(/)(/)xxpxlxlfufxuufufxu121311rxzxx将以上算子用于基向量得：求逆后得形函数：位移场为：102034,(/),,(/)xxxlxlDfDfxDfDfxrz2321010011002003rprplzDzllll32332231323223322132prprrllxxlxlxlxNzzllxxlxlx1TPPppuNuNu平面梁位移场2：对应算子为：将算子用于基向量得：111111()[(/)(/)]pxxxxDffffxfxfdxrz2341100211111021122311330211445rrprpxzzDZxxx求逆后得形函数：则位移场可得：123471230415171230415114645161464515030015prprxNzzxxx1TPPppuNuNu7．3有限单元方程知位移场：则得应变：式中：为线性应变，为非线性应变。iiaaauNu1122112212jikkijkjiijjaiakaakbbakabjiijLNLLNLijijijaijaaauuuuxxxxNNNuNuuxxxxBBu12jaLiaijajiNNBxxNLkakbijabkbijNNBuxxLijNLij在一般线性有限元分析中，我们只取线性应变部分，即：在以下的分析中，我们不再使用非线性的格林应变张量，而用线性的柯应变张量：矩阵形式的位移场、应变、应力表为：11()22jjaLNLLLiiaijijijijaijaaaajijiuNuNuBuxxxx12LNLLijaijaijaijaBBBB11()22jjaLiiaijaijaaaajijiuNuNuBuBuxxxxuNuBuD由虚位移原理建立单元运动方程：虚功原理：内力虚功等于外力虚功内力虚功单元静力平衡方程：为简化计算，先忽略分布力，由式得：wwTaaaiiiiivawfuufwfudvPuda集中力虚功外力虚功分布力虚功ijijijvdvwww矩阵形式的单元静力平衡方程表为：式中：ijaaijijijavvaijijaafudvudvuijaijklklijaijklklbbvvijklbijklaabbbfDdvBDBdvuuKuFKuTvKBDBdv1[]2ijjaiaijaaijNNBBuxx单元动力平衡方程：以体积分布力的单位质量惯性力为：单元中的惯性力虚功为：式中：22iiiaaaufNut,iiiiaaibbiaavvviiaiabTiaibabaabbabvabiabwfudvfNudvNuNudvNNdvuuuMuuMuTabiaibvviMMNNdvNNdv同理，假定阻尼正比于点的速度，单元中的单位阻尼力则为：单元中的阻尼力虚功：iiiaaaufNut,,,,iiiiaavviiaaiaibbabbaviababwfudvfNudvuNNudvCuuTabiaibvviccNNdvNNdv将式和式代入得单元动力平衡方程：或表为矩阵形式：式中：分别称为刚度阵、阻尼阵、质量阵，它们皆与形函数有关。,iiiiaaibbiaavvviiaiabTiaibabaabbabvabiabwfudvfNudvNuNudvNNdvuuuMuuMu,,,,iiiiaavviiaaiaibbabbaviababwfudvfNudvuNNudvCuuwwabbabbabbabbbKuCuMuf[][][][][][][]KuCuMu