2014数学(理) 参数方程

第1页选修4-4第2讲第2讲参数方程第2页选修4-4第2讲不同寻常的一本书，不可不读哟！1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.第3页选修4-4第2讲1个重要策略参数方程是新课标新增的选学内容，对该部分知识的复习，只需要掌握好参数方程与普通方程的互化、常见曲线参数方程中参数的几何意义，会解与教材例题、习题难度相当的题目即可．第4页选修4-4第2讲2种必会方法1.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．2.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．第5页选修4-4第2讲3点必须注意1.参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．2.普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．3.常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便.第6页选修4-4第2讲课前自主导学第7页选修4-4第2讲1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数x＝fxy＝gt(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．第8页选修4-4第2讲平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程唯一吗？第9页选修4-4第2讲已知O为原点，参数方程x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝________.第10页选修4-4第2讲2．直线、圆、椭圆的参数方程曲线参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线lx＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ(θ为参数)圆心在原点，半径为R的圆x＝Rcosθ，y＝Rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)第11页选修4-4第2讲(1)若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为________．第12页选修4-4第2讲(2)若圆的参数方程为x＝2＋3cosα，y＝－1＋3sinα(α为参数)，则圆心为________，半径为________．(3)曲线x＝23cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)中两焦点间的距离是________.第13页选修4-4第2讲1.想一想：提示：平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．填一填：12．填一填：(1)－32(2)(2，－1)3(3)26第14页选修4-4第2讲核心要点研究第15页选修4-4第2讲例1[2012·北京高考]直线x＝2＋ty＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数为________．[审题视点]本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．第16页选修4-4第2讲[解]方程转化为普通方程，直线为x＋y＝1，圆为x2＋y2＝9，法一：圆心到直线的距离为d＝|1|2＝123，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组x2＋y2＝9，x＋y＝1，消去y可得x2－x－4＝0，Δ0，所以直线和圆相交，答案为2.[答案]2第17页选修4-4第2讲1.将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等.2.将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.第18页选修4-4第2讲[变式探究][2012·湖北高考]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线x＝t＋1，y＝t－12(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．答案：52，52第19页选修4-4第2讲解析：由极坐标方程可知，θ＝π4表示直线y＝x(y≥0)，而x＝t＋1，y＝t－12表示y＝(x－2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)．联立y＝x，y＝x－22可得，x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2＝5.即x0＝y0＝x1＋x22＝52，故M52，52.第20页选修4-4第2讲例2[2012·湖南高考]在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝asinθy＝3cosθ(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.[审题视点]通过消参化为普通方程，联立方程组确定a的值．第21页选修4-4第2讲[解析]∵C1：x＝t＋1，y＝1－2t，∴C1的方程为2x＋y－3＝0.∵C2：x＝asinθ，y＝3cosθ，∴C2的方程为x2a2＋y29＝1.∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a0，∴C1与x轴的交点32，0在C2上，代入解得a＝32.[答案]32第22页选修4-4第2讲奇思妙想：在本例中若a＝2，则曲线C2上的点到曲线C1上的点的最大距离？解：曲线C2上的点到曲线C1上的点的距离d＝|4sinθ＋3cosθ－3|5，其最大值为855.第23页选修4-4第2讲在曲线或者直线的参数方程与普通方程中，根据问题的实际需要进行相互转化能够使问题的解决更为方便．一般来说，如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程，以便于问题的解决．第24页选修4-4第2讲[变式探究][2012·天津高考]已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.答案：2第25页选修4-4第2讲解析：由参数方程x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，p0，可得曲线方程为y2＝2px(p0)．∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)，∴△MEF为等边三角形，E的横坐标为－p2，M的横坐标为3.∴EM中点的横坐标为3－p22，与F的横坐标p2相同．∴3－p22＝p2，∴p＝2.第26页选修4-4第2讲例3[2012·福建高考]在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(233，π2)，圆C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．第27页选修4-4第2讲[解](1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，又点P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝33x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，第28页选修4-4第2讲所以直线l的平面直角坐标方程为3x＋3y－23＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|23－33－23|3＋9＝32r，故直线l与圆C相交．第29页选修4-4第2讲1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．2.解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．第30页选修4-4第2讲[变式探究]已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝22＋32t(t为参数)，若以平面直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求AB的长．第31页选修4-4第2讲解：(1)直线l的参数方程可以化为x＝tcos60°，y＝22＋tsin60°，根据直线参数方程的意义，可知直线l经过点(0，22)，倾斜角为60°.(2)直线l的普通方程为y＝3x＋22，ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x－22)2＋(y－22)2＝1，所以圆心(22，22)到直线l的距离d＝64.所以AB＝102.第32页选修4-4第2讲经典演练提能第33页选修4-4第2讲1.[2012·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝ty＝t(t为参数)和x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．答案：(1,1)解析：由C1得y＝x，即y2＝x(y≥0)．①由C2得x2＋y2＝2.②由①②联立y2＝x，x2＋y2＝2，得x＝1，y＝1.第34页选修4-4第2讲2.[2011·陕西高考]在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθy＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．答案：3解析：∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d＝32＋42＝5.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴|AB|min＝5－2＝3.第35页选修4-4第2讲3.[2013·西安模拟]已知曲线C1的极坐标方程是ρcos(θ＋π3)＝m，曲线C2的参数方程为x＝2＋2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，若两曲线有且只有一个公共点，则实数m的值是________．答案：－1或3第36页选修4-4第2讲解析：将曲线C1的极坐标方程ρcos(θ＋π3)＝m化为直角坐标方程为x－3y－2m＝0，将曲线C2的参数方程x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)化为普通方程为(x－2)2＋y2＝4.因为两曲线有且只有一个公共点，即直线x－3y－2m＝0与圆(x－2)2＋y2＝4相切，所以|2－2m|2＝2，则m＝－1或m＝3.第37页选修4-4第2讲4.[2012·课标全国高考]已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφy＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．第38页选修4-4第2讲解：(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2si