2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：3.2等差数列(第1课时)

第三章数列第讲（第一课时）考点搜索●等差数列的概念●等差数列的判定方法●等差数列的性质●等差数列的综合问题高考猜想考查等差数列的通项公式、求和公式及其性质；同时考查等差数列的函数性.一、等差数列的判定与证明方法1.定义法：①.2.等差中项法：②.3.通项公式法：③.4.前n项和公式法：④.an=kn+ban-an-1=d(n≥2)an-1+an+1=2an(n≥2)Sn=an2+bn二、等差数列的通项公式1.原形结构式：an=⑤.2.变形结构式：an=am+⑥(n＞m).(n-m)da1+(n-1)d三、等差数列的前n项和公式1.原形结构式：Sn=⑦。=⑧.2.二次函数型结构式：Sn=⑨.12nnaa1(1)2nnnadan2+bn四、等差数列的常用性质1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q,m、n、p、q∈N*,则⑩.2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则an与S2n-1的关系式为；Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成.五、a,b的等差中项为.an=am+an=ap+aq2121nSn等差数列2ab1.等差数列{an}中，已知a2+a5=4,an=33，则n=()A.48B.49C.50D.51由已知解得公差再由通项公式得解得n=50.故选C.,a113d23，()n1213333，C2.已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列的前10项和S10等于()A.64B.100C.110D.120设数列{an}的公差为d,则2a1+d=42a1+13d=28，解得d=2.故故选B.a1=1Sad101109101002，B3.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列四个命题：①若an=an+1(n∈N*)，则{an}既是等差数列又是等比数列；②若Sn=an2+bn(a,b∈R)，则{an}是等差数列；③a,b,c成等差数列的充要条件是④若{an}是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)也成等差数列.acb2；其中正确的命题是(填上正确命题的序号).①中若数列各项为零时不满足；②③④都是等差数列的性质.②③④题型1：a1，d，an，n，Sn中“知三求二”1.已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.分析：由于数列{an}是等差数列，则可将条件中的a3，a7，a4，a6均用首项a1与公差d来表示，进而建立关于a1与d的方程组来求解．解：设{an}的公差为d，则a1＋2da1＋6d＝－16a1＋3d＋a1＋5d＝0，即a21＋8da1＋12d2＝－16a1＝－4d，解得a1＝－8d＝2，或a1＝8d＝－2.因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．【点评】：应用等差数列的通项公式，求出基本量，然后利用求和公式求解．设等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn.(1)若a11=0，S14=98,求数列{an}的通项公式；由S14=98,得2a1+13d=14.又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.因此，数列{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3,….(2)若a1≥6，a110，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式.由S14≤77a110a1≥6,得即2a1+13d≤11①-2a1-20d0②-2a1≤-12③.2a1+13d≤11a1+10d0a1≥6,由①+②得-7d11,即由①+③得13d≤-1,即于是又d∈Z，故d=-1.代入①②得10a1≤12.又a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…..d117.d113.d111173题型2：等差数列前n项和的应用2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.(1)求证：{an}为等差数列；(1)证明：当n=1时，a1=S1=-8.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-9n-［(n-1)2-9(n-1)］=2n-10.又n=1时，a1=-8也满足此式.所以an=2n-10(n∈N*).又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2，所以{an}为等差数列.(2)求Sn的最小值及相应n的值；因为所以，当n=4或5时，Sn取最小值-20.()nSn298124，(3)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求Tn的表达式.因为当n≤5时，an≤0;当n≥6时，an＞0，故当n≤5时，Tn=-Sn=9n-n2；当n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an=Sn-2S5=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40.所以Tn=9n-n2(n≤5)n2-9n+40(n≥6).【点评】：公差不为零的等差数列的前n项的和是关于n的二次函数(常数项为0)，反之也成立.因为和式是二次函数，所以和式有最大值(或最小值)，求其最值可按二次函数处理，不过需注意自变量n是正整数.设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且求数列{an}的通项公式.设等差数列{an}的公差为d.由及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d)，①4a1+6d=4(2a1+d).②2SSS329S442，，()nnnSnad112由②得d=2a1，代入①有解得a1=0或当a1=0时，d=0(舍去).因此，故数列{an}的通项公式为aa21149，.a149.ad14899，()?()(*).nannn484121N999设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=S13，且a1＞0，求当n为何值时，Sn最大.解法1：由S5=S13，得所以所以因为a1＞0，所以当n=9时，Sn取最大值.()()aadaad111154131222［］［］，da1217，()().nnndnSnaa2111981217参考题解法2：因为S5=S13，所以5a1+10d=13a1+78d，所以所以由解得8.5≤n≤9.5.又n∈N*，所以n=9时，Sn最大..da1217()()naana1121017·()naana1112017，解法3：因为S5=S13，所以S13-S5=0，即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0.又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10，所以a9+a10=0.又a1＞0，所以a9＞0，a10＜0.故当n=9时，Sn最大.1.由五个量a1、d、n、an、Sn中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”.要求选用公式恰当，即能减少运算量，达到快速、准确的目的.2.在等差数列中，当a1＞0，d＜0时，解不等式组an≥0an+1≤0可得Sn达到最大值时的n的值；当a1＜0，d＞0时，解不等式组an≤0an+1≥0可得Sn达到最小值时的n的值.