高中数学知识结构图(全部)

确定性无序性互异性列举法描述法图示法区间法全称命题“全称量词“集合概念关系运算特征分类表示方法从属关系包含关系交集并集补集1．A∅=∩∅，AAA=∩；，AAA=∪；2．AA∅=∪3．若AB，则ABA⊆=∩，ABB=∪．U4．AA=∅，()UU∩‰AA=∪()UU‰，AA=‰‰．∈、∉AB⊆AB=AB空集1．空集是任意集合的子集，是任意非2．当AB空集合的真子集．=∅∩时，注意A=∅或B=∅的情况；当AB⊆时，注意A=∅的情况；当ABA=∪时，注意B=∅的情况．常见的逻辑用语量词逻辑连接词充分条件必要条件四个命题的关系逆否否逆互否互否互逆互逆原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p¬，则q¬逆否命题若q¬，则p¬1．一个命题为真命题，它的逆命题和否命题不一定是真命题，但逆否命题必然是真命题．2．一个命题的逆命题和否命题也互为逆否命题．1．若p是q的充分条件，则pq⇒；若p是q的必要条件，则qp⇒；若p是q的充要条件，则pq⇔．2．若p的充分条件是q，则qp⇒；若p的必要条件是q，则pq⇒．存在性量词“∃”∀”(),xMpx∀∈”存在性命题“()xMp,x∃∈”或：pq∨且：pq∧非：p¬真值表不等式如果ab，那么ba；如果ab，那么ba.性质解法如果ab，那么acbc++.如果abc+，那么acb−.如果ab，cd，那么acbd++.如果ab，0ab，那么11ab.如果ab，0c，那么acbc；如果ab，0c，那么acbc.如果00abcd⎧⎨⎩，那么acbd.如果0ab，那么nnab.如果0ab，那么nnab.一元二次不等式分式不等式绝对值不等式指数不等式对数不等式应用均值定理222abab+≥(),ab∈R2abab+≥(),0ab222abab+≤(),ab∈R22abab+⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠(),0ab正定等简单的线性规划问题如果ab，bc，那么ac.()()0fxgx≥⇔()()()00fxgxgx⎧⋅≥⎪⎨≠⎪⎩；()()0fxgx≤⇔()()()00fxgxgx⎧⋅≤⎪⎨≠⎪⎩.()()0fxgx⇔()()0fxgx⋅；()()0fxgx⇔()()0fxgx⋅.()fxa()0a⇔()afxa−.()fxa()0a⇔()fxa−或()fxa.当01a时，()()fxgxaa⇔()()fxgx；()()loglogaafxgx⇔()()()();0;0fxgxfxgx.当01a时，()()fxgxaa⇔()()fxgx；()()loglogaafxgx⇔()()()();0;0fxgxfxgx.函数定义域值域（最值）解析式图象单调性奇偶性周期性零点分式：分母不等于0；对数：真数大于零．偶次根式：被开方数大于或等于0；1．基本函数在闭区间的值域（最值）→图像、单调性；2．由基本函数组合的函数的值域（最值）→导数；3．利用基本不等式求最值→222abab+≥2abab+≥(),0ab．翻折变换：()yfx=→()yfx=()yfx=→()yfx=对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx+=，则()fx为周期函数，T为这个函数的一个周期．利用函数的单调性比较数值大小．概念性质奇函数()yfx=的定义域为A，且0A∈，则()00f=．基本函数的图象图象变换平移变换：()yfx=→()yfxk=+，()yfx=→()yfxh=+对称变换：()yfx=→()yfx=−()yfx=→()yfx=−()yfx=→()yfx=−−奇函数：()()fxfx−=−；偶函数：()()fxfx−=判断函数奇偶性要先验证定义域是否关于原点对称奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．已知函数()fx，若对任意12xxM∈，，当12xx时，①若()()12fxfx，则称函数()fx在M上为增函数，②若()()12fxfx，则称函数()fx在M上为减函数判断函数单调性的方法：图像、导数、定义．如果函数()yfx=在xa=处函数值为0，即()0fa=，则a叫做函数()yfx=的零点．如果函数()yfx=在区间[],ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且()()0fafb⋅，那么函数()yfx=在区间(),ab内有零点．分段函数基本函数的图像与性质相同性质不同性质一次函数ykxb=+()0k≠①图像是一条直线；②定义域为；值域为；RR③零点bxk=−；④当时是奇函数．0b=当0k时，在R为减函数．当时，0k在R为增函数．二次函数2yaxbxc=++()0a≠①图像是抛物线；②定义域是；R③对称轴方程2bxa=−，顶点坐标是24,24bacbaa⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠④当时是偶函数；0b=⑤当，有两个零点；当0Δ0Δ=，有一个零点；当，没有零点．0Δ当0a时，①值域为24,4acba⎛⎤−−∞⎜⎥⎝⎦②在,2ba⎛⎞−∞−⎜⎝⎠⎟为增函数，在,2ba⎛⎞−+∞⎜⎝⎠⎟为减函数．当时，0a①值域为24,4acba⎡⎞−+∞⎟⎢⎣⎠②在,2ba⎛⎞−∞−⎜⎝⎠⎟为减函数，在,2ba⎛⎞−+∞⎜⎝⎠⎟为增函数．反比例函数kyx=()0k≠①图像是双曲线；②定义域为{}0xxx∈≠R,，值域为{}0yyy∈≠R,；③奇函数．④没有零点；当0k时，在(),0−∞和()0,+∞为增函数当时，0k在(),0−∞和()0,+∞为减函数指数函数xya=(0,1aa≠)①定义域为，R值域为()；0,+∞②图像经过定点()0,1；③既不是奇函数，也不是偶函数；④没有零点．当01a时，在R为减函数．当时，1a在R为增函数．对数函数logayx=(0,1aa≠))①定义域为，值域为；(0,+∞R②图像经过定点()1,0；③既不是奇函数，也不是偶函数；④零点为1x=．当01a时，在()0,+∞为减函数．当时，1a在()0,+∞为增函数．幂函数yxα=①过点()1,1，②奇偶性与α的取值有关．当0α时在()0,+∞为减函数．当01α时在(为增函数．)0,+∞当1α时在()0,+∞为增函数．导数常见函数的导数概念函数的单调性应用函数的最值导数的四则运算运算函数的极值导数的几何意义①()()()()fxgxfxgx′′′⎡+⎤=+⎣⎦②()()()()fxgxfxgx′′′⎡−⎤=−⎣⎦③()()()()()()fxgxfxgxfxgx′′′⎡⋅⎤=+⎣⎦特别的，()()CfxCfx′′⎡⋅⎤=⋅⎣⎦④()()()()()()()2fxfxgxfxgxgxgx′′′⎡⎤−=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦①()0C′=②()1nnxnx−′=③()sincosxx′=④()cossinxx′=−⑤()xxee′=⑥()lnxxaaa′=⑦()1lnxx′=⑧()1loglnaxxa′=⋅如果函数()yfx=在某个区间内可导，那么①若()0fx′，则()fx为增函数；②若()0fx′，则()fx为减函数；③若()0fx′=，则()fx为常函数．如果0x是可导函数()yfx=的极值点，则()00fx′=如果0x左侧导数值为正，右侧导数值为负，则0x是()yfx=的极大值点如果0x左侧导数值为负，右侧导数值为正，则0x是()yfx=的极小值点求可导函数在闭区间最大（小）值的步骤：①求()fx在(),ab内的极值；②将()fx的各个极值与()fa、()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的是最小值．函数()yfx=在点0xx=处的导数是曲线()yfx=在点()00,xy处切线的斜率，因此曲线()yfx=在点()00,xy处的切线的方程为：()()000yyfxxx′−=⋅−如果()yfx=在某个区间D内是增函数（减函数），则()0fx′≥()()0fx′≤在D上恒成立．数列等差数列特殊数列等比数列特殊问题递推公式数列求和定义：1nnaad−−=()2n≥通项公式：()11naand=+−()manmd=+−前n项和公式：()()11122nnnaannSnad+−==+等差中项：若a、b、c成等差数列，则2acb+=性质：①若mnkl+=+，则mnklaaaa+=+；②若2mnk+=，则2mnkaaa+=定义：1nnaqa−=()2n≥通项公式：11nnaaq−=⋅nmmaq−=⋅前n项和公式：()11111111nnnnaqSaqaaqqqq=⎧⎪=−⎨−⋅=≠⎪−−⎩等比中项：若a、b、c成等比数列，则bac=±性质：①若mnkl+=+，则mnklaaaa⋅=⋅②若2mnk+=，则2mnkaaa⋅=nS与na的关系：1112nnnSnaSSn−=⎧=⎨−≥⎩公式法等差、等比数列．分组求和例题：221nnan=+−裂项法求和例题：()()12121nann=−+错位相减法求和例题：()1212nnan⎛⎞=−×⎜⎟⎝⎠等差数列：例题：12a=−，1221nnaa+−=等比数列：例题：12a=，21a=−，211nnnaaa+−=⋅()2n≥叠加法：例题：11a=−，()121nnaan+=+−叠乘法：例题：12a=，111nnanan−+=−()2n≥平面向量概念线性运算向量零向量单位向量向量的模共线（平行）向量相等的向量相反的向量向量的夹角向量b在a方向上的正射影cos,⋅=abbaba加法三角形法则平行四边形法则ABBCAC+=JJJGJJJGJJJG减法数乘①λ=aλ⋅a；②当0λ时，λa与a的方向相同；当0λ时，λa与a的方向相反；③当0λ=时，λ=0a．数量积⋅=abcos,⋅⋅ababcos||||θ⋅=⋅abab22=aa⊥ab⇔0⋅=ab坐标运算向量的坐标坐标运算平行（垂直）充要条件()1212,xxyy±=±±ab()11,xyλλλ=a1212xxyy⋅=+ab2211xy=+a()2121,ABxxyy=−−JJJG()()222121ABxxyy=−+−JJJG12210xyxy⇔−=∥ab12120xxyy⊥⇔+=ab向量∥ab()≠0a的充要条件是存在唯一实数λ，使得λ=ba．三角形法则ABACCB−=JJJGJJJGJJJG三角函数概念图像与性质三角函数的图像变换三角函数的性质两角和与差的三角函数三角形中的边角关系角的推广定义诱导公式同角三角函数基本关系式π弧度180=°，1180π°=弧度，1弧度1805718'π°⎛⎞=≈°⎜⎟⎝⎠与角α相同终边的角2kβαπ=+()k∈Zsinyrα=，cosxrα=，tanyxα=sin0α，α是第一、二象限角cos0α，α是第一、四象限角tan0α，α是第一、三象限角奇变偶不变，符号看象限22sincos1αα+=sintancosααα=余弦定理：2222cosabcbcA=+−正弦定理：2sinsinsinabcRABC===三角形面积公式：1sin22ABCSabC×==△底高1sin2bcA=1sin2acB=()sinsinABC+=；()coscosABC+=−；()tantanABC+=−sincos22ABC+=；cossin22ABC+=；tancot22ABC+=()sinsincoscossinαβαβαβ±=±()coscoscossinsinαβαβαβ±=∓()tantantan1tantanαβαβαβ±±=∓sin22sincosααα=22cos2cossinααα=−22cos1α=−212sinα=−22tantan21tanααα=−21cos2sin2αα−=21cos2cos2αα+=222cos2bcaAbc+−=①::sin:sin:sinabcABC=②2sinaRA=，2sinbRB=，2sincRC=sincosaxbx+()22sinabxϕ=++①()sinsinyxyxϕ=→=+②sinsinyxyxω=→=③sinsinyxyAx=→=不含轴上角五点法作图解析几何初步直线的斜率直线的方程直线与直线圆的方程