高中数学立体几何知识点总结及例题(下)模板

(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.例1、7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．A1AB1BC1CD1DGEF例2、10、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.例3、已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；PDDAB,60例4、在四面体中ABCD，，且E、F分别是AB、BD的中点，（Ⅰ）求证：直线EF//面ACD（II）求证：面EFC⊥面BCDBCAFDEBDADCDCB,六、直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.七、存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.九、射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.高考题练习1．（本小题满分12分）如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；2.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；·B1PACDA1C1D1BOH·3如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明平面EDB；(II)证明平面EFD；4、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；5、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；ABDCA1D1C1B1EFO1H6、04（19）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=根号2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（II）求证AM⊥平面BDF；7、06（17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面ABCD，且，M、N分别为PC,PB的中点.(Ⅰ)求证；ABCDP90,//BADBCADPABCABADPA2DMPB8、07（20）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，且，M是AB的中点．求证：；EADBBCACAEBDBCAC2EMCMAEDCBM9、08(20)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，角BCF=角CEF=90度,AD=根号3,EF=2。（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；ABCDEF预测（1）线面平行+线面垂直已知线段矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB,PC的中点。（Ⅰ）求证：平面PAD；（II）当时，求证：平面PCD。PA//MN45PDAMNPNCAMBD预测（2）线面平行+线面垂直如图，已知正三棱柱中，，点D为A1C1的中点。（Ⅰ）求证：平面AB1D；（II）求证：平面AB1D。//1BCCA1111CBAABC12AAABC1B1A1DCAB预测(3)线线垂直+线面平行如图，在四棱锥中，（Ⅰ）求证：；（II）试在线段PB上找一点M，使平面PAD，并说明理由。ABCDP.,21,,//PCBCABDCADABADABCDBCPA//CMPDCBA预测（4）线面垂直+线面平行+线面角如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，，且PD与底面ABCD所成的角为45度。（Ⅰ）求证：平面PDC；（II）已知E为棱AB的中点，问在棱PD上是否存在一点Q，使EQ平行于平面PBC?若存在，写出点Q的位置，并证明你的结论；若不存在，试说明理由。ABCDPPADPDPAPA