2014高考数学一轮复习课件：同角三角函数基本关系式与诱导公式(精)

2014高考数学一轮复习课件第三章三角函数、解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式考纲要求考情分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用.1.本节内容是高考考查的重点之一，主要为利用同角三角函数关系、诱导公式进行化简、求值．另外，在以后的一些综合题中，也常利用本节知识进行化简、变形．2.从考查题型看，若单独对本节内容考查，则以选择题、填空题的形式出现；若与后续知识结合，则出现在解答题中，难度不大，一般属中档题.sinαcosαπ2•一、同角三角函数的基本关系式•1．平方关系：.•2．商数关系：.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα•1．你能用定义来证明以上公式吗？提示：sin2α＋cos2α＝yr2＋xr2＝x2＋y2r2＝1，tanα＝yx＝yrxr＝sinαcosα.•二、诱导公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinαsinαcosα余弦－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα口诀函数名_____符号看象限函数名符号看象限π2π2－sin_α－sinαcos_αcos_αcos_α－cos_αtan_α－tan_α不变改变•提示：公式右边的三角函数的符号要看公式左边的三角函数值的符号．2．上述公式的口诀中也可以统一为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的“奇”、“偶”是指π2的奇数倍或偶数倍，而符号看象限指的是公式中等号左边还是右边的三角函数的符号？•三、特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°270°角α的弧度数0π6π4π3π223π56ππ3π2sinα0122232132120－1cosα13222120－12－32－10tanα03313不存在－3－330不存在1．sin300°等于()A．－32B．－12C.12D.32解析：sin300°＝sin(360°－60°)＝sin(－60°)＝－32，故选A.答案：A2．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()A．0B.34C．1D.54解析：2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.答案：B3．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝()A．－1213B.1213C．±1213D.512解析：由cos(α－π)＝－513得，cosα＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.答案：A4．若sin(π＋α)＝13，α∈－π2，π2，则tanα＝________.解析：∵sin(π＋α)＝－sinα＝13，∴sinα＝－13，又α∈－π2，π2，∴cosα＝1－sin2α＝223，∴tanα＝sinαcosα＝－13223＝－24.答案：－245．已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝______.解析：∵π6－α＋α－23π＝－π2，∴sinα－23π＝sin－π2－π6－α＝－sinπ2＋π6－α＝－cosπ6－α＝－23.答案：－23•【考向探寻】•1．利用同角三角函数关系式进行化简、求值．•2．利用同角三角函数式证明三角恒等式或进行三角恒等变换．【典例剖析】(1)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2(2)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.①求tanα的值；②把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．题号分析(1)由于tan100°＝－tan80°，故只需求出sin80°即可．(2)①由条件及sin2α＋cos2α＝1求得sinα，cosα，然后求tanα；②注意sin2α＋cos2α＝1的运用，把所给式子用tanα表示，最后求值.(1)解析：∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝1－cos280°＝1－k2.∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.答案：B(2)解：①方法一：由sinα＋cosα＝15sin2α＋cos2α＝1消去cosα整理得25sin2α－5sinα－12＝0.解得sinα＝45或sinα＝－35.∵α是三角形的内角，∴sinα＝45，又由sinα＋cosα＝15得，1＋2sinαcosα＝125，∴sinαcosα＝－1225.又0απ，∴cosα0，∴cosα＝－35，∴tanα＝－43.方法二：∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∴sinαcosα＝－12250.又0απ，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝75.由sinα＋cosα＝15sinα－cosα＝75，得sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.②1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.【互动探究】例(2)的条件不变，结论改为：“求①sinα－4cosα5sinα＋2cosα；②sin2α＋2sinαcosα的值”，则如何求解？解：由例题解法可知tanα＝－43，①sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝tanα－45tanα＋2＝－43－45×－43＋2＝87.②sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanα1＋tan2α＝169－831＋169＝－825.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦间的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦函数与切函数间的互化．(2)应用公式时注意整体思想的应用．对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用．如1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α等．•利用平方关系求值时，在两边开方时一定要注意符号.•【考向探寻】•1．利用诱导公式化简三角函数式．•2．利用诱导公式证明三角函数式．【典例剖析】(1)化简：tan3π－αsinπ－αsin3π2－α＋sin2π－αcosα－7π2sin3π2＋αcos2π＋α.(2)求证：sin2(π－θ)＋cosπ2－θsinπ2＋θ－2cos2(θ－π)＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1.(1)观察式子特点→选择恰当公式→化简求值；(2)观察等式特点→化简等号左边式子→证得结论.(1)解：原式＝tan－αsinα·－cosα＋sin－α·cosα＋π2－cosα·cosα＝tanαsinα·cosα＋－sinα·－sinα－cosα·cosα＝1cos2α－sin2αcos2α＝1－sin2αcos2α＝cos2αcos2α＝1.(2)证明：左边＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝右边∴原等式成立．•(1)三角函数式的化简•①化简是一种恒等变形，其结果要求项数尽可能少、次数尽可能低、结构尽可能简单、能求值的要求出值．化简前要注意分析角的结构特点，选择恰当的公式和化简顺序．•②诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为止．•(2)三角等式的证明•证明前要分析式子的特点，一般从复杂的一边开始证明，一直得到等式成立．证明时可按照由左到右或由右到左，或从两边向中间证的思路进行．【活学活用】1．化简：cos3k＋13π＋α＋cos3k－13π－α，k∈Z.解：当k＝2n，n∈Z时，原式＝cos2nπ＋π3＋α＋cos2nπ－π3－α＝cosπ3＋α＋cos－π3－α＝cosπ3＋α＋cosπ3＋α＝2cosπ3＋α.当k＝2n＋1，n∈Z时，原式＝cos2n＋1π＋π3＋α＋cos2n＋1π－π3－α＝cosπ＋π3＋α＋cosπ－π3－α＝－cosπ3＋α－cosπ3＋α＝－2cosπ3＋α.综上，原式＝2cosπ3＋α，k为偶数－2cosπ3＋α，k为奇数.•【考向探寻】•根据所给条件，利用诱导公式求值．•【典例剖析】•(1)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2013)＝－1，那么f(2014)等于•A．－1B．0•C．1D．2(2)(2013·长沙模拟)已知cos5π12＋α＝13，且－πα－π2，则cosπ12－α等于A.233B.13C．－13D．－233(1)利用f(2013)与f(2014)的关系求解即可；(2)利用5π12＋α与π12－α互余，结合诱导公式及同角三角函数关系式求解．•解析：(1)∵f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，•∴asinα＋bcosβ＝1.•∴f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)•＝asinα＋bcosβ＝1.•答案：C(2)cosπ12－α＝sinπ2－π12－α＝sin5π12＋α∵－πα－π2，∴－7π12α＋5π12－π12.又cos5π12＋α＝130，∴－π2α＋5π12－π12，∴sin5π12＋α＝－1－cos25π12＋α＝－1－132＝－223.答案：D•对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些三角函数的值时，关键在于把所给条件以及求值的式子进行化简，解题时应注意诱导公式的灵活运用．【活学活用】2．已知sin(3π＋θ)＝13，求cosπ＋θcosθ[cosπ－θ－1]＋cosθ－2πsinθ－3π2cosθ－π－sin3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝13，∴sinθ＝－13，∴原式＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cos2π－θ－sin3π2－θcosπ－θ＋cosθ＝11＋cosθ＋cosθ－cos2θ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝2－132＝18.(12分)(2013·莆田模拟)已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两根．(1)求cos3π2－θ＋sin3π2＋θ的值；(2)