福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第56讲 椭圆

12．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．1212122(______)2.__________________1FFaPPFPFaFF平面内到两定点、的距离之和为常数①的点的轨迹叫椭圆．对于椭圆上任一点，有在定义中，当②时，表示线段；当③时，不表示．椭任圆的定义何图形．2222222222222211(0)______________.21(0)________________.2xyababcabxyababcba＞＞，其中，焦点坐标为④＞．椭圆＞，其中，焦的点坐标为⑤标准方程2222131(0200)0,0xayxyababbxyO范围：，，椭圆在一个矩形区域内；对称性：对称轴，，对称中心；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦．椭点连圆＞＞的几何线段的性质中垂线．121212123,0,0(0)(0)_________4__________(01)__________()_____________AaAaBbBbAABBee顶点：，，，，，，长轴长⑥，短轴长⑦；一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点．离心率：⑧＜＜，椭圆的离心率在⑨内，离心率确定了椭圆的形状扁圆状态．当离心率越接近于⑩时，椭圆越圆；当离心率越接近于时，椭圆越扁平．1212121212222,0,0(0)(0)220,101aFFaFFaFFFcFcFcFccaba①＞；②；③；④，；⑤，-，，；⑥【要点指南；⑦；⑧；⑨；⑩；】1.椭圆x2m＋y24＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5或3B．8C．5D．16【解析】当m4时，m－4＝1，m＝5，当m4时，4－m＝1，m＝3.2.设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10【解析】由题意知a＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.3.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对【解析】由题意知b＝3，又e＝a2－b2a2＝1－9a2＝45，解得a＝5，所以c＝a2－b2＝4.所以焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.4.中心在坐标原点，焦点在y轴上，经过点(3，0)，离心率为12的椭圆方程为x23＋y24＝1.【解析】依题设b＝3e＝ca＝12a2＝b2＋c2，解得a＝2b＝3.又椭圆焦点在y轴上，故其方程为x23＋y24＝1.5.椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x＝±a2c(c2＝a2－b2)与x轴的交点为M、N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是[22，1).【解析】由已知|MN|＝2·a2c.又|MN|≤2|F1F2|，则2·a2c≤4c，从而c2a2≥12，故22≤ca1，故e∈[22，1)．一椭圆的定义及标准方程【例1】已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，C(1，32)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)若点P在椭圆E上，且满足PF1→·PF2→＝t，求实数t的取值范围．【解析】(1)方法1：依题意，设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由已知半焦距c＝1，所以a2－b2＝1.①因为点C(1，32)在椭圆E上，则1a2＋94b2＝1.②由①②解得，a2＝4，b2＝3.所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.方法2：依题意，设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为点C(1，32)在椭圆E上，所以2a＝|CF1|＋|CF2|＝4，即a＝2.由已知半焦距c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)设P(x0，y0)，则PF1→·PF2→＝t，得(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝t，即x20＋y20＝t＋1.③因为点P在椭圆E上，所以x204＋y203＝1.④由③得y20＝t＋1－x20，代入④，并整理得x20＝4(t－2)．⑤由④知，0≤x20≤4，⑥综合⑤⑥，解得2≤t≤3，所以实数t的取值范围为[2,3]．【点评】求椭圆的标准方程，通常有定义法和待定系数法，应该熟练掌握．运用待定系数法解题时应注意“先定位，后定量”，尤其要注意焦点所在的坐标轴有两种可能的情形．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(22，0)，Q(0，－5)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(－3,0)；(3)焦距是8，离心率是45.素材1【解析】(1)x28＋y25＝1.(2)x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(3)x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.【点评】求圆锥曲线的标准方程时，除依据条件确定a、b、c的值外，应注意焦点能否换轴，全面考虑问题．二椭圆的几何性质【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤(m＋n2)2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，即e≥12.又0e1，所以e的取值范围是[12，1)．(2)证明：由(1)知，mn＝43b2，所以S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．【点评】(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a24c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθS△＝12|PF1||PF2|sinθ.已知点A、B分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长、短轴的端点，从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB→∥OM→.素材2(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．【解析】(1)因为F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b2a，所以kOM＝－b2ac.因为kAB＝－ba，OM→∥AB→，所以－b2ac＝－ba，所以b＝c，故e＝ca＝22.(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，所以r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0.当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，所以θ∈[0，π2]．三椭圆的综合问题【例3】椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝43，|PF2|＝143.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M且交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．【解析】方法1：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝|PF2|2－|PF1|2＝25，故椭圆的半焦距c＝5，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为x29＋y24＝1.(2)设A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心M的坐标为(－2,1)，从而可设直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.因为A，B关于点M对称，所以x1＋x22＝－18k2＋9k4＋9k2＝－2，解得k＝89，所以直线l的方程为y＝89(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(经检验，符合题意)．方法2：(1)同方法1.(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.所以圆心M的坐标为(－2,1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意，x1≠x2，且x219＋y214＝1，①x229＋y224＝1，②由①②得x1－x2x1＋x29＋y1－y2y1＋y24＝0.③因为A、B关于点M对称，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，代入③得y1－y2x1－x2＝89，即直线l的斜率为89，所以直线l的方程为y－1＝89(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.(经检验，所求直线方程符合题意)【点评】(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．(3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设出弦的端点坐标，代入方程，用点差法求弦的斜率，注意求出方程后，通常要检验．若F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝23.素材3(1)求这个椭圆的方程；(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使OA→⊥OB→(其中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由．【解析】(1)依题意，得2a＝4,2c＝23，所以a＝2，c＝3，所以b＝a2－c2＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)显然当直线的斜率不存在，即x＝0时，不满足条件．设l的方程为y＝kx＋2，因为A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24＋y2＝1y＝kx＋2，消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.所以Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)0，解得k234.①x1＋x2＝－16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2.因为OA→⊥OB→，所以OA→·OB→＝0，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝x1x2＋k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·121＋4k2＋2k(－16k1＋4k2)＋4＝44－k21＋4k2＝0.所以k2＝4.②由①②可知k＝±2.所以，存在斜率k＝±2的直线l符合题意．备选例题从圆x2＋y2＝4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M在线段PQ上，且QM→＝λQP→(0＜λ＜1)．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若曲线C上的点M到A(0，－2)的最远距离为3，求λ的值．【解析】(1)设P(a，b)，M(x，y)，则Q(a,0)．由QM→＝λQP→，PQ⊥x轴，得x＝ay＝λb，则a＝xb＝yλ.又点P(a，b)在圆x2＋y2＝4上，代入得点M的轨迹方程为x24＋y24λ2＝1(0λ1)．(2)因为|MA|2＝x2＋(y＋2)2，又x24＋y24λ2＝1，所以|MA|2＝λ2－1λ2y2＋4y＋8(y∈[－2λ，2λ])．其图象开口向下，对称轴y＝2λ21－λ2＞0，所以当2λ21－λ2＞2λ且λ∈(0,1)，即λ∈(5－12，1)时，对称轴在区间[－2λ，2λ]的右边，故当y＝2λ