2018版 第3章 3.2 均值不等式 陈祥伦

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.2均值不等式上一页返回首页下一页1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1均值不等式阅读教材P69～P71，完成下列问题.1.重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2____2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).≥上一页返回首页下一页2.均值不等式ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：__________；(2)等号成立的条件：当且仅当_______时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为____；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数______它们的几何平均数.a0，b0a＝b不小于ab上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立.()(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4.()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(5)若ab＝1，a0，b0，则a＋b的最小值为2.()上一页返回首页下一页【解析】(1)×.任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立.(2)×.只有当a0时，根据均值不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立.(3)√.因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.上一页返回首页下一页(4)×.因为不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；而a＋b2≥ab成立的条件是a，b均为非负实数.(5)√.因为a0，b0，所以a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√上一页返回首页下一页教材整理2均值不等式的应用阅读教材P70例1～P71例3，完成下列问题.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.()(2)若a0，b0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x1时，函数f(x)＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数f(x)的最小值是2xx－1.()(4)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.()(5)若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为116.()上一页返回首页下一页【解析】(1)√.由均值不等式求最值条件可知.(2)√.因为ab≤a＋b2＝42＝2，所以ab≤4.(3)×.因为当x1时，x－10，则f(x)＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，函数f(x)的取到最小值3.上一页返回首页下一页(4)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m0，n0，而m＋n2≥mn＝9，所以m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，m＋n取到最小值18.(5)√.因为x，y∈R＋，而4xy≤x＋4y22＝122＝14，所以x·y≤116.当且仅当x＝4y，即x＝12，y＝18时取等号.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√上一页返回首页下一页[小组合作型]利用均值不等式比较代数式的大小(1)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是______.(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋1x≥2；②若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2lga·lgb；上一页返回首页下一页③若a＜0，b＜0，则ab＋1ab≥2；④不等式yx＋xy≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________.【精彩点拨】(1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c22bc，a2＋c22ac.∴2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ac).即a2＋b2＋c2ab＋bc＋ac，亦即pq.上一页返回首页下一页(2)只有当x0时，才能由均值不等式得到x＋1x≥2x·1x＝2，故①错误；当a0，b0时，lga∈R，lgb∈R，不一定有lga0，lgb0，故lga＋lgb≥2lga·lgb不一定成立，故②错误；当a0，b0时，ab0，由均值不等式可得ab＋1ab≥2ab·1ab＝2，故③正确；由均值不等式可知，当yx0，xy0时，有yx＋xy≥2yx·xy＝2成立，这时只需x与y同号即可，故④错误.【答案】(1)pq(2)③上一页返回首页下一页1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.上一页返回首页下一页[再练一题]1.设a0，b0，试比较a＋b2，ab，a2＋b22，21a＋1b的大小，并说明理由.【导学号：18082044】【解】∵a0，b0，∴1a＋1b≥2ab，即ab≥21a＋1b(当且仅当a＝b时取等号)，上一页返回首页下一页又a＋b22＝a2＋2ab＋b24≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22，∴a＋b2≤a2＋b22(当且仅当a＝b时等号成立)，而ab≤a＋b2，故a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(当且仅当a＝b时等号成立).上一页返回首页下一页XXX不等式的证明已知a，b，c为不全相等的正实数.求证：a＋b＋cab＋bc＋ca.【精彩点拨】上一页返回首页下一页【自主解答】∵a0，b0，c0，∴a＋b≥2ab0，b＋c≥2bc0，c＋a≥2ca0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.∴a＋b＋cab＋bc＋ca.上一页返回首页下一页1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.上一页返回首页下一页3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.上一页返回首页下一页[再练一题]2.已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.【证明】法一：因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理1＋1b＝2＋ab.故1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.所以1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时取等号).上一页返回首页下一页法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤a＋b22＝14，于是1ab≥4，2ab≥8.因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立).上一页返回首页下一页均值不等式的实际应用如图3­2­1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？图3­2­1【导学号：18082045】上一页返回首页下一页【精彩点拨】设每间虎笼长xm，宽ym，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值.【自主解答】设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.上一页返回首页下一页法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，所以26xy≤18，得xy≤272，即Smax＝272，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大.上一页返回首页下一页法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y).∵0y6，∴6－y0.∴S≤326－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大.上一页返回首页下一页1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.对于函数y＝x＋kx(k0)，可以证明x∈(0，k]及[－k，0)上均为减函数，在[k，＋∞)及(－∞，－k]上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含±k，可用均值不等式，不包含±k就用函数的单调性.上一页返回首页下一页[再练一题]3.某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？上一页返回首页下一页【解】(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元，则y＝50n－98－12×n＋nn－12×4＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为yn＝－2n＋49n－20≤－22n·49n－20＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号.∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.上一页返回首页下一页[探究共研型]求曲线的切线方程探究1由x2＋y2≥2xy知xy≤x2＋y22，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是x2＋y22吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？【提示】最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式a＋b2≥ab(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.上一页返回首页下一页探究2小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？上一页返回首页下一页【提示】不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当x0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x0时，y＝－－x－1x≤－2－x·－1x＝－2，当且