2017届高三数学(文)一轮复习课件：3-6 简单的三角恒等变换

第三章集合与常用逻辑用语第六节简单的三角恒等变换微知识小题练微考点大课堂微考场新提升微知识小题练教材回扣基础自测一、知识清单微知识❶半角公式sinα2＝，cosα2＝，tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα。微知识❷辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2。±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα二、小题查验1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当α是第一象限角时，sinα2＝1－cosα2。()×解析：错误。α在第一象限时，α2在第一或第三象限。当α2在第一象限时，sinα2＝1－cosα2；当α2在第三象限时，sinα2＝－1－cosα2。(2)对任意角α，tan2α2＝1－cosα1＋cosα都成立。()×解析：错误。此式子必须使tanα2有意义且1＋cosα≠0。即α2≠kπ＋π2且α≠2kπ＋π，即α≠(2k＋1)π(k∈Z)。(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的。()(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值有关。()√解析：正确。由半角公式推导过程可知正确。√解析：正确。由cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，可知φ的取值与a，b的值有关。2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33解析：因为cosα＝13，α∈(π，2π)，所以α2∈π2，π，所以cosα2＝－1＋cosα2＝－1＋132＝－63，故选B。答案：B3．函数y＝2cos2x4＋1的最小正周期为________。解析：因为y＝2·1＋cosx22＋1＝cos12x＋2，所以函数的最小正周期T＝2π12＝4π。答案：4π4．若sin80°＝m，则用含m的式子表示cos5°＝______。解析：由题意，得sin80°＝cos10°＝m，又cos10°＝2cos25°－1，所以2cos25°－1＝m，cos25°＝1＋m2，所以cos5°＝1＋m2＝2＋2m2。答案：2＋2m25．函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________。解析：因为y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋12，所以T＝2π2＝π。答案：π微考点大课堂考点例析对点微练微考点三角函数式的化简【典例1】(1)化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________。(2)化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4的结果是______。22cosα12cos2x解析：(1)原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα。(2)原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－x·cos2π4－x＝－4cos2xsin2x＋14cosπ4－xsinπ4－x＝1－sin22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x。[规律方法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等。【微练1】化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)的结果是__________。解析：原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2|cosθ2|＝－cosθ2·cosθ|cosθ2|。因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2。所以cosθ2＞0，故原式＝－cosθ。答案：－cosθ微考点三角函数式的求值角度一：给角求值【典例2】3cos10°－1sin170°＝()A．4B．2C．－2D．－4解析：3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4。答案：D角度二：给值求角【典例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________。解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1。∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4。答案：－3π4角度三：给值求值【典例4】已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32。(1)求A的值；解析：(1)由f5π12＝32，得Asin2π3＝32，又sin2π3＝32，∴A＝3。(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ。解析：(2)由(1)得f(x)＝3sinx＋π4，由f(θ)＋f(－θ)＝32，得3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π4＝32，化简得cosθ＝64，∵θ∈0，π2，∴sinθ＝1－cos2θ＝1－642＝104，故f3π4－θ＝3sin3π4－θ＋π4＝3sinθ＝3104＝304。[规律方法](1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。【微练2】(1)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.236C．－45D.45CC解析：(1)4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin120°－40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3。(2)cosα－π6＋sinα＝435⇒32sinα＋32cosα＝435⇒sinα＋π6＝45，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45。微考点三角恒等变换的综合应用【典例5】已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R。(1)求f(x)的最小正周期；解析：(1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4。所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π。(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值。解析：(2)∵x∈0，π2，∴2x－π4∈－π4，34π，所以f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数，又f(0)＝－2，f3π8＝22，fπ2＝2，故函数f(x)在0，π2上的最大值为22，最小值为－2。[规律方法]三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题。【微练3】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x。(1)求f(x)的最小正周期和最大值；解析：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22。(2)当α∈π2，π时，若f(α)＝22，求α的值。解析：(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1。因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4。所以4α＋π4＝5π2。故α＝9π16。微考场新提升考题选萃随堂自测1．(2016·长治模拟)已知cosα2＝45，α∈(0,2π)，则sinα4＝()A.1010B．－1010C.31010D．－31010解析：角α2是α4的2倍，所以sin2α4＝1－cosα22＝1－452＝110。因为α∈(0,2π)，所以α4∈0，π2，所以sinα4＝110＝1010。答案：A2．(2016·长沙模拟)函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32解析：f(x)＝sinx－32cosx＋12sinx＝332sinx－12cosx＝3sinx－π6。x∈R，所以x－π6∈R，所以f(x)∈[－3，3]，故选B。答案：B3．(2016·临沂模拟)已知函数f(x)＝sinx＋23cos2x2，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a解析：f(x)＝sinx＋23·1＋cosx2＝sinx＋3cosx＋3＝2sinx＋π3＋3，因为函数f(x)在0，π6上单调递增，所以fπ7＜fπ6，而c＝fπ3＝2sin2π3＋3＝2sinπ3＋3＝f(0)＜fπ7，所以c＜a＜b。答案：B4．(2016·铜陵模拟)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53解析：∵sinα＋cosα＝33，∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23。又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝330，∴2kπ＋π2α2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π2α4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－1－sin22α＝－53。答案：A5．(2016·西安模拟)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________。解析：f(x)＝sinx－2cosx＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝－2，当x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋π2－φ。所以cosθ＝cosπ2－φ＝sinφ，又因为tanφ＝－2，φ在第四象限，所以sinφ＝－255，即cosθ＝－255。答案：－255