[高考专项训练]圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质

小题押题16—12圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质卷别年份考题位置考查内容命题规律分析全国卷Ⅰ2017选择题第10题抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、焦点弦问题圆锥曲线的定义及标准方程是常考点，题目比较简单，圆锥曲线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点，其中涉及范围、最值等综合问题常在压轴小题中考查，难度较大．填空题第15题双曲线的几何性质2016选择题第10题抛物线与圆的综合问题2015选择题第5题双曲线简单性质的应用填空题第14题结合椭圆的性质求圆的标准方程全国卷Ⅱ2017选择题第9题双曲线的离心率、点到直线的距离公式填空题第16题抛物线的标准方程、定义及几何性质2016选择题第11题双曲线的定义、离心率问题2015选择题第11题双曲线的几何性质全国卷Ⅲ2017选择题第5题,双曲线的标准方程、渐近线、椭圆的几何性质选择题第10题直线与圆的位置关系、椭圆的几何性质2016选择题第11题直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率江苏2018第八题双曲线的定义、离心率问题考查点一圆锥曲线的定义及标准方程1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析：选B根据双曲线C的渐近线方程为y＝52x，可知ba＝52.①又椭圆x212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9.②根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为x24－y25＝1.2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：选B设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝42，|DE|＝25，抛物线的准线方程为x＝－p2，∴不妨设A4p，22，D－p2，5.∵点A4p，22，D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴16p2＋8＝r2，p24＋5＝r2，∴16p2＋8＝p24＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A由题意知抛物线的准线方程为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.4．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：6考查点二圆锥曲线的几何性质5．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B.3C.2D.233解析：选A依题意，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b2＋a2＝4－1，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝1＋b2a2＝1＋3＝2.6．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)Fc到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是()A.2B.32C.3D．2解析：选D双曲线的基本运算7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴点M的坐标为()2a，3a.∵点M在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝2.考查点三直线与圆锥曲线位置关系的简单应用8．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析：选A抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1k(x－1)，由y2＝4x，y＝kx－1消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k2＋4k2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋4k2＋2＝4＋4k2.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋4k2＋4＋4k2＝8＋41k2＋k2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16.9．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为xc＋yb＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知|－bc|b2＋c2＝14×2b，解得ca＝12，即e＝12.10．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94解析：选D易知抛物线中p＝32，焦点F34，0，直线AB的斜率k＝33，故直线AB的方程为y＝33x－34，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－212x＋916＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝212＋32＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝p2·sin30°＝38，所以△OAB的面积S＝12|AB|·d＝94.11．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)解析：选C如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知|BB1||AA1|＝|MB||MA|，即m3m＝|MB||MB|＋4m，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．重点突破——圆锥曲线性质的2个常考点考法(一)椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.[典例](1)已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP―→⊥BP―→，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2)B．(1,2]C．(1，2)D．(1，2][解析]设P(x，y)，由题设条件得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，因此由题意可得2aa2＋b21，即2ac1，则e＝ca2，又e1，故1e2.[答案]A(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．[解析]如图，由题意知|AB|＝2b2a，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×2b2a＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．[答案]2[解题方略]椭圆、双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[针对训练]1．(2017·郑州模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.22B．2－3C.5－2D.6－3解析：选D设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2，即有c2＝(9－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝ca＝6－3.2．(2018届高三·广西五校联考)已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若MF―→1·NF―→1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(2，2＋1)B．(1，2＋1)C．(1，3)D．(3，＋∞)解析：选B设F1(－c,0)，F2(c,0)，依题意可得c2a2－y2b2＝1，得到y＝b2a，不妨设Mc，b2a，Nc，－b2a，则MF―→1·NF―→1＝－2c，－b2a·－2c，b2a＝4c2－b4a2＞0，得到4a2c2－(c2－a2)2＞0，即a4＋c4－6a2c2＜0，故e4－6e2＋1＜0，解得3－22＜e2＜3＋22，又e＞1，所以1＜e2＜3＋22，解得1＜e＜1＋2.考法(二)圆锥曲线中的最值问题[典例](1)(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D．1[解析]如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0