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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > [高考数学总复习]第五章第二节平面向量基本定理及坐标表示
一、平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2,使a=其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线有且只有λ1e1+λ2e2不共线的向量e1,e22.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使a=xi+yj,把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=.(2)设=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).(x,y)(x,y)向量的坐标(x,y)(x,y)提示:向量的坐标与点的坐标有所不同,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标却可以不同,以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同.1.向量的坐标与点的坐标有何不同?二、平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算向量aba+ba-bλa坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1-x2,Y1-y2)(λx1,λy1)(x1+x2,Y1+y2)2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=,即一个向量的坐标等于.该向量终点的坐标减去始点的坐标(x2-x1,y2-y1)3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=⇔.x1y2-x2y1=0λb2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件能表示成吗?提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,a∥b的充要条件也不能错记为:x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等.1.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b.解析:∵a+b=(0,1+x2),∴a+b平行于y轴.答案:(0,1+x2)2.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=.解析:设c=λa+μb,则(4,2)=(λ-μ,λ+μ),答案:3a-b即解得∴c=3a-b.3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且,则顶点D的坐标为.解析:设D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3),又BC=2AD,∴∴即点D坐标为(2,).答案:(2,)4.若点O(0,0),A(1,2),B(-1,3),且,则点A′的坐标为,点B′的坐标为,向量的坐标为.答案:(2,4)(-3,9)(-5,5)解析:∵O(0,0),A(1,2),B(-1,3),∴OA=(1,2),OB=(-1,3),OA′=2×(1,2)=(2,4),OB′=3×(-1,3)=(-3,9).∴A′(2,4),B′(-3,9),A′B′=(-3-2,9-4)=(-5,5).5.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若其中λ、μ∈R,则λ+μ=.解析:设AB=a,AD=b,那么AE=a+b,AF=a+b.又∵AC=a+b,∴AC=(AE+AF),即λ=μ=,∴λ+μ=.答案:1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同,表示也不同.2.对于两个向量a,b,将它们用同一组基底表示,我们可通过分析这两个表示式的关系,来反映a与b的关系.3.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.【注意】由于基底向量不共线,所以0不能作为一个基底向量.在△OAB中,AD与BC交于点M,设a,用a,b表示由平面向量基本定理,利用共线向量条件及向量的加、减法法则即可解得结果.因为A、M、D三点共线,所以即m+2n=1.【解】设OM=ma+nb(m,n∈R),AM=OM-OA=(m-1)a+nb,AD=OD-OA=b-a=-a+b,因为C、M、B三点共线,所以即4m+n=1.而CM=OM-OC=(m-)a+nb,CB=OB-OC=b-a=-a+b,所以由解得13OM=a+b.771.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知AM=c,AN=d,试用c,d表示解:法一:设AB=a,AD=b,则a=AN+NB=d+(-b),①b=AM+MD=c+(-a),②将②代入①得a=d+(-)[c+(-a)]⇒a=d-c,代入②得b=c+(-)(d-c)=c-d.即AB=d-c,AD=c-d.法二:设AB=a,AD=b,因M,N分别为CD,BC的中点,所以BN=b,DM=a,因而⇒1212即22AB=2d-c,AD=2c-d.331.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.3.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b,(1)求:3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标.利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.【解】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴解得(3)设O为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c,∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b,∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴MN=(9,-18).2.已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及试问:(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第三象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值,若不能,请说明理由.解:(1)∵OA=(1,2),AB=(3,3),∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;若点P在第三象限,则解得t<-.(2)若四边形OABP成为平行四边形,则OP=AB,∵该方程组无解,∴四边形OABP不能成为平行四边形.1.a∥b的充要条件有两种表达形式:(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb(λ∈R);(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.两种充要条件的表达形式不同,第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前提条件b≠0.而第(2)种是用坐标形式表示的,且没有b≠0的限制.2.向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法.解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求满足a=mb+nc的实数m、n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(3)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=求d.(1)由两向量相等的充要条件可求得实数m、n的值;(2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程,进而求得k的值;(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解.【解】(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),(2)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).又∵(a+kc)∥(2b-a),∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴得∴k=-.(3)设向量d坐标为(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).由题意知或∴d的向量坐标为(3,-1)或(5,3).∴或3.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解:∵ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵(ka+b)∥(a-3b)⇔(k-3)(-4)-10(2k+2)=0⇔-4k+12-20k-20=0⇔24k=-8⇔k=-.∴当k=-时,ka+b与a-3b平行.此时ka+b=-a+b=-(a-3b),∴ka+b与a-3b反向.平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代数问题来解决.特别地,用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,2009年湖南卷就考查平面向量与三角函数的结合.(2009·湖南高考)已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).(1)若a∥b,求tanθ的值;(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.[解](1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是4sinθ=cosθ,故tanθ=(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以1-2sin2θ+4sin2θ=5,从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=-1,于是又由0<θ<π知,所以因此(2分)(6分)(8分)(12分)(13分)(14分)2009年高考中考生主要犯了以下错误.解(1)时a∥b的充要条件与a⊥b的充要条件混淆,另外部分考生记不清a∥b的充要条件.解(2)时,基本三角恒等变换不熟练或不恰当,影响结果如将4sin2θ写成2(1+cos2θ)等.
本文标题:[高考数学总复习]第五章第二节平面向量基本定理及坐标表示
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