高中数学选修2-2第三章 数系的扩充与复数的引入

第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2复数的几何意义（新授课）§3.2.1复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2第三章复数基础练习（一）选修2-2第三章复数基础练习（一）答案选修2-2第三章复数基础练习（二）选修2-2第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1数系的扩充与复数的概念约2课时3.2复数代数形式的四则运算约2课时数系扩充复数引入复数的概念复数代数形式的四则运算§3.1.1数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。二、教学重点与难点重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。难点：复数及其相关概念的理解三、教学过程：（一）：相关知识连接：1、实数集以及实数子集正有理数循环小数有理数（Q）零（整数、有限小数、无限循环小数）实数（R）负有理数小数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、数的概念的发展①从实际生产需要推进数的发展自然数整数有理数无理数②从解方程的需要推进数的发展负数分数无理数虚数3、人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。讨论：若给方程210x一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？实数a与i相乘、相加的结果应如何？（二）、讲授新课：1、基本概念：复数定义：形如abi的数叫做复数，通常记为zabi（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部数集|,CabiabR叫做复数集。规定：1i2＝－例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。23,84,83,6,,29,7,0iiiiii复数的相等：abicdiac且b=d强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。讨论：复数的代数形式中规定,abR，,ab取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？虚数定义：,(0)abib叫做虚数，,(0)bib叫做纯虚数。数集的关系：0,0)0)0,0)Zaa实数(b=0)复数一般虚数(b虚数(b纯虚数(b上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2、例题分析例2：实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是:(1)、实数？（2）、虚数？（3）、纯虚数？（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）例3：已知复数abi与3(4)ki相等，且abi的实部、虚部分别是方程2430xx的两根，试求：,,abk的值。（讨论3(4)ki中，k取何值时是实数？）（三）、巩固练习：1、指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。23,84,80,6,,2921,7,03iiiiii2、判断：两复数虚部都是3，则实部大的那个复数较大。（）3、若(32)(5)172xyxyii，则,xy的值是？4、已知i是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)Zmimii，当m取何实数时，z是：（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零（四）、课时小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。（五）、布置作业：课本106页习题3.1第1、2题。四、课后反思：§3.1.2复数的几何意义（新授课）一、教学目标：知识与技能：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。过程与方法：通过类比教学，使学生理解复数的几何意义，并能用复数的几何意义解决相关问题。情感、态度与价值观：让学生充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时提高发现问题、解决问题的能力。二、教学重点与难点：重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。难点:根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。三、教学过程：（一）、课前复习：1、说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii2、复数(4)(3)zxyi，当,xy取何值时为实数、虚数、纯虚数？3、若(4)(3)2xyii，试求,xy的值，（(4)(3)2xyi呢？）（二）、讲授新课：1.复数的几何意义：讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？分析：复数的代数形式是由实部a和虚部b同时确定，即是有顺序的两实数，因此不难想到有序实数对或点的坐标。结论：复数与平面内的点或有序实数一一对应。2、复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。复数与复平面内的点一一对应。3、例题训练：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii分别对应的点。（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi）讨论：观察上例中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？结论：实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？4、复数的几何意义：Zabi一一对应复数复平面内的点(a,b)Zabi一一对应复数平面向量OZ一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。5、复数的模：向量OZ的模r叫做复数zabi的模，记作biaz或),0(22Rrrbarbiaz6、复数模的几何意义复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离．（三）、应用举例：例1、在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii分别画出各复数所对应的向量。例2、求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小．例3、设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？⑴|Z|=4⑵2≤|Z|＜4（四）、巩固与提高：1、课本105页练习1、2、32、分别写出下列各复数所对应的点的坐标。23,84,80,6,,2921,7,03iiiiii3、在复平面内画出23,42,13,4,30iiiii所对应的向量。4、复数22(34)(56)Zmmmmi表示的点在虚轴上，求实数a的取值。5、若z表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。6、⑴模等于4的虚数在复平面内的点集．⑵比较复数z1=－5+12iz2=―6―6i的模的大小．⑶已知：|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹．（五）、布置作业：课本106页习题3.1第5、6题.（六）、课时小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。五、课后反思：§3.2.1复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）一、教学目标：知识与技能：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。并能熟练准确地运用法则解决相关的问题。过程与方法：通过例题和习题的训练，引导学生从实数的运算入手，由具体到抽象总结出运算规律，提高学生的运算能力。情感、态度与价值观：培养学生良好的思维品质，感受为真理而执著追求的精神，进行辩证唯物注意教育。二、教学重点与难点重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义难点：加、减运算的几何意义三、教学过程：（一）、复习准备：1、复数的几何意义？2、试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03iiiiii在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。3、用坐标和几何形式表示复数121472ziZi与所对应的向量，并计算12OZOZ4、思考：向量的加减运算满足何种法则？类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（二）、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12zabiZcdi与，则12()()ZZacbdi。例1、计算（1）(14)(72)ii+（2）(72)(14)ii+（3）[(32)(43)](5)iii+（4）(32)(43)(5)]iii+[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。运算律：对任意的Czzz321,,交换律：1221zzzz结合律：)()(321321zzzzzz例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)ii，(32),(43),(5)iii所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12ZZZ，则Z叫做21ZZ减去的差,21ZZZ记作。④讨论：若12,ZabZcdi，试确定12ZZZ是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()abicdiacbdi，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。例3、计算（1）(14)(72)ii-（2）(52)(14)(23)iii+（3）(32)(43)(5)]iii-[（三）课时小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。（四）、巩固练习：1．计算（1）845i（2）543ii（3）232923iii2．若(310)(2)19iyixi，求实数,xy的取值。3．若(310)(2)iyix表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。4．三个复数123,,ZZZ，其中13Zi，2Z是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定23,ZZ的值。（五）、布置作业：课本112页习题3.2A组1、2、3四、课后反思§3.2.2复数的代数形式的乘除运算（新授课）一、教学目标：知识与能力：掌握复数的代数形式的乘、除运算。过程与方法：通过例题和习题的训练，引导学生从实数的运算入手，由具体到抽象总结出运算规律，提高学生的运算能力。情感、态度与价值观：培养学生良好的思维品质，感受为真理而执著追求的精神，进行辩证唯物注意教育。二、教学重点与难点：重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念难点：乘除运算三、教学过程：（一）、复习准备：1.复数的加减法的几何意义是什么？2.计算：（1）、(14)(72)ii+（2）、(