题型六 第23题二次函数与几何图形综合题

数学河南专用题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定【例1】(2017·营口)如图，抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P在第一象限内，当OD＝4PE时，求四边形POBE的面积；(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是直线x＝1，A(－2，0)在抛物线上，∴－b2a＝1（－2）2a－2b－2＝0，解得：a＝14b＝－12，抛物线的解析式为y＝14x2－12x－2；(2)令y＝14x2－12x－2＝0，解得：x1＝－2，x2＝4，当x＝0时，y＝－2，∴B(4，0)，C(0，－2)，设BC的解析式为y＝kx＋c，则4k＋c＝0c＝－2，解得：k＝12c＝－2，∴直线BC的解析式为y＝12x－2，设D(m，0)，∵DP∥y轴，∴E(m，12m－2)，P(m，14m2－12m－2)，∵OD＝4PE，∴m＝4(14m2－12m－2－12m＋2)，∴m＝5或m＝0(舍去)，∴D(5，0)，P(5，74)，E(5，12)，∴S四边形POBE＝S△OPD－S△EBD＝12×5×74－12×1×12＝338；(3)存在，设M(n，12n－2)，①以BD为对角线，如解图①，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n＝4＋52，∴M(92，14)，∵M，N关于x轴对称，∴N(92，－14)；②以BD为边，如解图②，∵四边形BNMD是菱形，∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2＋DH2＝DM2，即(12n－2)2＋(n－5)2＝12，∴n1＝4(不合题意)，n2＝285，∴N(235，45)，同理(12n－2)2＋(4－n)2＝1，∴n1＝4＋255(不合题意，舍去)，n2＝4－255，∴N(5－255，－55)，③以BD为边，如解图③，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2＋BH2＝BM2，即(12n－2)2＋(n－4)2＝12，∴n1＝4＋255，n2＝4－254(不合题意，舍去)，∴N(5＋255，55)，综上所述，当N(92，－14)或(235，45)或(5－255，－55)或(5＋255，55)时，以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形.【例2】(2013·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝12x＋2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，72)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．解：(1)在直线解析式y＝12x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴C(0，2)．∵点C(0，2)、D(3，72)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，∴c＝2－9＋3b＋c＝72，解得b＝72，c＝2，∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋72x＋2；(2)设P点坐标为(m，－m2＋72m＋2)，F(m，12m＋2)∵PF∥CO，四边形为平行四边形，∴PF＝CO，∴yP－yF＝±(yc－yo)，∴－m2＋3m＝2或－2，∴m＝1或2或3＋172或3－172(舍)，∴当m＝1或2或3＋172时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．(3)存在．理由：设点P的横坐标为m，则P(m，－m2＋72m＋2)，F(m，12m＋2)．如解图，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝yF－yM＝12m，∴tan∠CFM＝2.在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝52m.过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝52m，PN＝2FN＝5m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝FN2＋PN2＝52m.∵PF＝yP－yF＝(－m2＋72m＋2)－(12m＋2)＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝52m，整理得：m2－12m＝0，解得m＝0(舍去)或m＝12，∴P(12，72)；同理求得，另一点为P(236，1318)．∴符合条件的点P的坐标为(12，72)或(236，1318)．【对应训练】1．(2017·新乡模拟)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，－1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D.(1)求该抛物线的解析式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．1．解：(1)∵抛物线的顶点为Q(2，－1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－1，将C(0，3)代入上式，得：3＝a(0－2)2－1，a＝1；∴y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3；(2)分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3；∵点A在点B的右边，∴B(1，0)，A(3，0)；∴P1(1，0)；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAD2＝45°；当∠D2AP2＝90°时，∠OAP2＝45°，∴AO平分∠D2AP2；又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．将A(3，0)，C(0，3)代入上式得：3k＋b＝0b＝3，解得k＝－1b＝3；∴y＝－x＋3；设D2(x，－x＋3)，P2(x，x2－4x＋3)，则有：(－x＋3)＋(x2－4x＋3)＝0，即x2－5x＋6＝0；解得x1＝2，x2＝3(舍去)；∴当x＝2时，y＝x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1；∴P2的坐标为P2(2，－1)(即为抛物线顶点)．∴P点坐标为P1(1，0)，P2(2，－1)；(3)由(2)知，当P点的坐标为P1(1，0)时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2(2，－1)(即顶点Q)时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P(2，－1)，∴可设F(x，1)；∴x2－4x＋3＝1，解得x1＝2－2，x2＝2＋2；∴符合条件的F点有两个，即F1(2－2，1)，F2(2＋2，1).类型二二次函数与图形面积(2012.23(2))【例3】(2017·深圳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝23S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，∴a－b＋2＝016a＋4b＋2＝0，解得a＝－12b＝32，∴抛物线解析式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)由题意可知C(0，2)，A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×5×2＝5，∵S△ABC＝23S△ABD，∴S△ABD＝32×5＝152，设D(x，y)，∴12AB·|y|＝12×5|y|＝152，解得|y|＝3，当y＝3时，由－12x2＋32x＋2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为(1，3)或(2，3)；当y＝－3时，由－12x2＋32x＋2＝－3，解得x＝－2(舍去)或x＝5，此时D点坐标为(5，－3)；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)；(3)∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝12＋22＝5，BC＝22＋42＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如解图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝25，∴AOOM＝ACCF，即1OM＝525，解得OM＝2，OCFM＝ACAF，即2FM＝535，解得FM＝6，∴F(2，6)，且B(4，0)，设直线BE解析式为y＝kx＋m，则可得2k＋m＝64k＋m＝0，解得k＝－3m＝12，∴直线BE解析式为y＝－3x＋12，联立直线BE和抛物线解析式可得y＝－3x＋12y＝－12x2＋32x＋2，解得x＝4y＝0或x＝5y＝－3，∴E(5，－3)，∴BE＝（5－4）2＋（－3）2＝10.【对应训练】1．(2017·甘肃)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．1．解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4可得4a－2b＋4＝064a＋8b＋4＝0，解得a＝－14b＝32，∴二次函数的表达式为y＝－14x2＋32x＋4；(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，∵B(－2，0)，C(8，0)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.∴BC＝10，在y＝－14x2＋32x＋4中令x＝0，可解得y＝4，∴点A(0，4)，OA＝4，∴S△ABN＝12BN·OA＝12(n＋2)×4＝2(n＋2)，∵MN∥AC，∴AMAB＝NCBC＝8－n10，∴S△AMNS△ABN＝AMAB＝8－n10，∴S△AMN＝8－n10S△ABN＝15(8－n)(n＋2)＝－15(n－3)2＋5，∵－15＜0，∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM＝12AB，∵AB＝OA2＋OB2＝16＋4＝25，AC＝OC2＋OA2＝64＋16＝45，∴AB＝12AC，∴OM＝14AC.类型三二次函数与线段问题(2015.23，2012.23，2014.23)【例4】(2015·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为(0，6)、(－4，0)，连接PD、PE、DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．解：(1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C(0，8)，A(－8，0)，设抛物线解析式为：y＝ax2＋c，则c＝864a＋c＝0，解得a＝－18c＝8，∴抛物线的解析式为：y＝－18x2＋8；(2)正确．理由：设P(a