新课标八年级数学竞赛培训第32讲：几何不等式

几何不等式一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）在△ABC中，AD为中线，AB=7，AC=5，则AD的取值范围为_________．17．（3分）已知在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，且2∠B=5∠A，则∠B的取值范围是_________．18．（3分）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数_________．19．（3分）面积为1的三角形中，三边长分别为a、b、c，且满足a≤b≤c，则a+b的最小值是_________．20．（3分）在任意△ABC中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为_________．二、解答题（共15小题，满分105分）1．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥BC．2．（8分）Rt△ABC中，AB=6，AC=8，则斜边长为_________．3．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为形内一点，∠ADC＞∠ADB，求证：DB＞DC．4．（8分）如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＜a+c，求证：2∠B＜∠A+∠C．5．（9分）过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．6．（8分）如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：．菁优网©2010-2014菁优网7．（6分）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC≥BD．8．（8分）设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的高，求证：．9．（6分）如图，△ABC中，E、F分别为AC、AB上任一点，BE、CF交于P，求证：PE+PF＜AE+AF．10．（6分）如图，已知：线段AB=CD，AB与DC相交于O，∠AOC=60°．求证：AC+BD≥AB．11．（6分）如图，矩形ABCD中，E、F别是AB、CD上的点，求证：EF＜AC．12．（6分）已知a、b、x、y均大于0，x2+y2=1，求证：．13．（6分）如图，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB．菁优网©2010-2014菁优网14．（6分）平面上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值．15．（8分）如图，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分线AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．菁优网©2010-2014菁优网新课标八年级数学竞赛培训第32讲：几何不等式参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）在△ABC中，AD为中线，AB=7，AC=5，则AD的取值范围为1＜AD＜6．考点：三角形三边关系．1552088分析：先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．解答：解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB，∵AB=7，AC=5，CE=7，设AD=x，则AE=2x，∴2＜2x＜12，∴1＜x＜6，∴1＜AD＜6．故答案为：1＜AD＜6．点评：此题主要考查学生对三角形三边关系及中线的性质等的理解及运用能力．17．（3分）已知在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，且2∠B=5∠A，则∠B的取值范围是0°＜∠B≤75°．考点：三角形内角和定理．1552088专题：计算题．分析：由2∠B=5∠A，得到∠A=∠B，在根据三角形的内角和定理得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠B，而∠A≤∠B≤∠C，则∠B≤180°﹣∠B，即可得到∠B的取值范围．解答：解：∵2∠B=5∠A，∴∠A=∠B，而∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠B，又∵∠A≤∠B≤∠C，∴∠B≤180°﹣∠B，解得∠B≤75°．菁优网©2010-2014菁优网所以∠B的取值范围是0°＜∠B≤75°．故答案为0°＜∠B≤75°．点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了不等式的解法．18．（3分）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数15、40、45或16、36、48．考点：三角形三边关系；解一元一次不等式组．1552088专题：计算题．分析：如果设最小边用火柴棍a根，则最大边用火柴棍3a根，第三边用火柴棍（100﹣4a）根．根据三角形三边关系定理及三边之间的大小关系，可列出关于a的一元一次不等式组，求出a的范围，再根据a为整数，可确定a的具体值，从而得出结果．解答：解：设最小边用火柴棍a根，则最大边用火柴棍3a根，第三边用火柴棍（100﹣4a）根．由题意，得a+（100﹣4a）＞3a，a＜100﹣4a＜3a，解得＜a＜．又∵a为整数，∴a=15或16．∴三边分别为15，40，45或16，36，48．故答案为15、40、45或16、36、48．点评：本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．能够根据题意列出不等式组是解题的关键．19．（3分）面积为1的三角形中，三边长分别为a、b、c，且满足a≤b≤c，则a+b的最小值是．考点：几何不等式．1552088专题：计算题．分析：先根据题意画出图形，则有b≥h，又∵ah=1，∴，a+b≥2，在三角形为等腰直角三角形时，a+b取得最小值．解答：解：过点A作BC边上的高AD，设其长为h，如下图所示：则b≥h，又∵ah=1，∴∴a+b≥2，∴在三角形为等腰直角三角形时a+b取得最小值．此时a+b=2．故答案为：2．点评：本题考查几何不等式的知识，关键是掌握不等式a+b≥2，并灵活运用．菁优网©2010-2014菁优网20．（3分）在任意△ABC中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为0°＜α≤60°．考点：三角形内角和定理．1552088专题：计算题．分析：不妨设∠A=α＞0°，即∠A为最小的角，则∠A≤∠B≤∠C，根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°，得到3∠A≤180°，即可得到α的取值范围．解答：解：不妨设∠A=α＞0°，即∠A为最小的角，∴∠A≤∠B≤∠C，又∴∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠A≤180°，即α≤60°，所以α的取值范围为0°＜α≤60°．故答案为：0°＜α≤60°．点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．二、解答题（共15小题，满分105分）1．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥BC．考点：平行四边形的判定与性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．1552088专题：证明题．分析：可过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC，如下图所示，再由平行线的性质及全等三角形的性质，在△EFD中即可得出结论．解答：证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC（如图），∴BCDE是平行四边形，∴DC平行且等于BE，∴∠1=∠A，∵AB=AC，AE=FC，∴BE=AF=DC，∴△AEF≌△CFD，∴EF=DF，在△EFD中，EF+DF＞DE，∴2EF＞BC，即EF＞BC，当E、F为AB、AC中点时，EF=BC，∴EF≥BC．菁优网©2010-2014菁优网点评：本题主要考查通过辅助线作出平行四边形，进而利用平行四边形的性质、全等三角形及三角形的三边关系，进而得出结论．2．（8分）Rt△ABC中，AB=6，AC=8，则斜边长为10或8．考点：勾股定理．1552088专题：计算题；分类讨论．分析：本题需要讨论边长为8的边是否为斜边，（1）边长为8的边是斜边，则斜边长为8，（2）边长为8的边不是斜边，则已知两直角边根据勾股定理可以求斜边．解答：解：（1）边长为8的边是斜边，则斜边长为8；（2）边长为8的边不是斜边，则AB，AC为直角边，则斜边BC长为=10．故答案为10或8．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论边长为8的边是否是斜边是解题的关键．3．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为形内一点，∠ADC＞∠ADB，求证：DB＞DC．考点：旋转的性质．1552088专题：证明题．分析：把△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACD′，AB与AC重合，如图，连接DD′，根据旋转的性质得AD=AD'，BD=CD′，∠ABD=∠ACD′，得到∠ADD′=∠AD′D，而∠ADC＞∠ADB，所以∠ADC＞∠AD′C，则∠D'DC＞∠DD'C，得到CD′＞DC，即可得到结论．解答：解：把△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACD′，AB与AC重合，如图，连接DD′，∴AD=AD'，BD=CD′，∠ABD=∠ACD′，∴∠ADD′=∠AD′D，而∠ADC＞∠ADB，∴∠ADC＞∠AD′C，∴∠ADD′+∠D′DC＞∠AD′D+∠CD′D，∴∠D'DC＞∠DD'C，∴CD′＞DC，菁优网©2010-2014菁优网∴DB＞DC．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了在三角形中，大边对大角等性质．4．（8分）如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＜a+c，求证：2∠B＜∠A+∠C．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．1552088专题：证明题．分析：可延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，可得∠BDE=∠BED，作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质通过转化，最终得出结论．解答：证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，∴∠BDE=∠BED，作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．∴CF=AD=BC，又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA∴EF=AC，于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．这样，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，即2∠B＜∠A+∠C．点评：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，能够熟练掌握．5．（9分）过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．考点：三角形的重心．1552088专题：证明题；分类讨论．菁优网©2010-2014菁优网分析：根据题意画图，设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2，根据重心的性质可得A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，从而求得图中的9个三角形全等，即9个小三角形的面积均等于△ABC面积的．此时过点C作直线，讨论恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合和不重合两种情况，最后总结结论．解答：解：设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2，∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，∴A1A=A1Bl=B