复变函数――拉普拉斯变换

第2章拉普拉斯变换2.1拉普拉斯变换2.2拉普拉斯变换的基本性质2.3拉普拉斯逆变换2.4拉普拉斯变换的应用2.1拉普拉斯变换2.1.1拉普拉斯变换的概念定义1设函数当有定义,而且积分()ft0t0()(stftedts是一个复参量）在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为s0()()stFsftedt我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做()ft()Fsℒ)]([tf叫做的拉氏变换,象函数()Fs()ft()ft叫做的拉氏逆变换,象原函数,ℒ)(tf1()Fs2.1.2拉普拉斯变换存在定理若函数满足下列条件:()ftⅠ在的任一有限区间上连续或分段连续,0tⅡ当的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数及,使得t()ft0,M0C0ctftMet成立,则函数的拉氏变换()ft0()()stFsftedt在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数.ResCFs例1求单位阶跃函数的拉氏变换.解:ℒut011()00ststutedteResss例2求函数的拉氏变换()ktfte.kR解:ℒ()001()ktstsktfteedtedtResksk例3求单位斜坡函数的拉氏变换。000tttuttt解:ℒ200111()00stststttedtteedtRessss例4求幂函数的拉氏变换。1ntn解:ℒ1010nnstnnttedtRess当为正整数时,nℒ1!0nnntRess例5求正弦函数的拉氏变换()sin)ftktkR(ℒ00020201()sinsin1sincos01cos1cossin0stststststststftktedtktdesektkektdtsektdtsektkektdts解则22200sinsinststkkktedtktedtss所以ℒ22sin0kktRessk是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有2.1.3周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式()ftT的周期函数,即()ftT()(0)ftt()ft可以证明:若01()1tTssTftedteℒ()ft2.2拉普拉斯变换的性质2.2.1线性性质设，，常数则ℒ)()]([11sFtfℒ)()]([22sFtf,1212()()()()ftftFsFs11212()()()()FsFsftftℒ2.2.2相似性质若，则ℒ)()]([sFtf0aℒ)(1)]([asFaatf2.2.3平移性质（1）象原函数的平移性质若ℒ),()]([sFtf0t为非负实数，则ℒ),()]([00sFettfst例6求函数)0(10)(bbtbtbtu的拉氏变换。解：因为ℒ1()()utFss所以ℒ1()sbutbes（2）象函数的平移性质若ℒ()ft(),Fsa为实常数，则ℒ()()ateftFsa).)(Re(cas例7求ℒsin,atektℒatnet(为正整数).n解：因为ℒ22sinkktsk，ℒ1!nnnts所以ℒ22sin()atkektsakℒ1!()atnnnetsa则2.2.4微分性质（1）象原函数的微分性质一般地,ℒ()()(0))ftsFsfResC((),Fsℒ()ft若ℒ()12(1)()()(0)(0)(0)nnnnnftsFssfsff特别地,当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff时,ℒ()()()nnftsFs（2）象函数的微分性质若),()]([sFtf则()Fsℒ()tft从而ℒ()()tftFs，ℒ1()()Fstft例8求ℒsintkt解因为ℒ22sinkktsk所以,ℒ222222sindkkstktdssksk同理,ℒ2222222cosdssktktdssksk若0()[()]tFsftdtsℒ则10()()tFsftdtsℒ(),Fsℒ()ft（1）象原函数的积分性质一般地0001[()]()tttnndtdtftdtFss次ℒ2.2.5积分性质且积分收敛若()[]()sftFsdstℒ则ℒ(),Fsℒ()ft（2）象函数的积分性质一般地，()[]()nsssnftdsdsdsFst次ℒ()sFsds或ttf)(sdssF])([1推论：若ℒ()ft(),Fs()sFsds且积分收敛则00()()ftdtFsdst例9求ℒ0sinttdtt解：因为ℒ21sin1ts所以，ℒ2sin1[]arctanarctan12sstdssstsℒ2000sin1arctan12tdtdssts顺便可得，)arctan2(1]sin[0ssdtttt2.3拉普拉斯逆变换定义2.1若ℒ()ft(),Fs则积分102jstjftFsedstj称为的拉普拉斯逆变换。)(sF它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.我们简单介绍留数法和查表法.2.3.1利用留数定理求拉氏逆变换定理若是函数的所有奇点（适当选取使这些奇点全在的范围内），且当时，则有nsss,,,21)(sF)Re(ss0)(sF])([Re)(211stjjnkssstesFsdsesFjk即0],)([Re)(1tesFstfstnkssk若函数是有理函数：，其中是不可约的多项式，的次数小于的次数，此时定理1的条件成立，从而有)(sF)()()(sBsAsF)(),(sBsA)(sA)(sB情况一：若有n个单零点，即这些点都是的单极点，根据留数的计算方法，有)(sBnsss,,,21)(sF0,)()(])()([Re)(1'1tesBsAesBsAstfnktskkstnksskk情况二：若是的一个级极点，是的单零点，即是的级极点，是它的单极点，根据留数的计算方法，有)(sBm1snmmsss,,,21)(sB1s)(sFmnmmsss,,,210],eB(s)A(s))s-[(sdsdlim1)!-(m1)()(])()([Re)(stm11-m1-mss1'11tesBsAesBsAstfnmktskkstnksskk例10利用留数方法求的逆变换。1)(2sssF解：这里，它有两个单零点，故1)(2ssBjsjs21,)(tfℒjsstjsstessessss|2|2]1[210,cos)(21tteejtjt2.3.2利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换()()nnts一些常用函数的拉氏变换()1t1()uts1ktesk1!nnnts22sinkktsk22cossktsk更多的拉氏变换见书后附表。拉氏逆变换的性质ℒ11212()()()()FsFsftftℒ1()()sFafataℒℒ1()()atFsafteℒ1()()Fstft10()()tFsftdtsℒ1()()sftFsdstℒ)()]([010ttfsFest例11已知11Fsss求()ft解：11111Fsssss所以1tfte例12已知211sFses求()ft解：所以ℒ121sin1tsℒ1),()]([0010tttfsFest)1sin()(ttf325sssFss例13已知，求()ft解：所以5ftttt322551sssFsssss22529sFss例14已知，求()ft解：所以2212cos3sin33ttftetet222222225133292323ssFssss2.4拉氏变换的卷积与卷积定理2.4.1上的卷积定义),0[若函数1(),ft2()ft满足时都为零,0t则)()(21tftf12120()()()()tfftdfftd称为函数1(),ft2()ft在上的卷积.[0,)例15对函数11ft2,()tfte计算上的卷积。[0,)解：tdtfftftf02121)()()()(ttttttteeedeede1)1(100)(2.4.2拉氏变换的卷积定理若满足Laplace变换存在定理中的条件，且，，则的Laplace变换一定存在，且)(),(21tftfℒ)()]([11sFtfℒ)()]([22sFtf)()(21tftfℒ1212()()()()ftftFsFs或ℒ11212()()()()FsFsftft例16若，求。)1(1)(22sssF)(tf解：因为2222111)1(1)(sssssF故)(tfℒ]111[221sstdttt0)(sinttsin2.5拉普拉斯变换的应用利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例17求微分方程23tyyye满足初始条件00y01y的解解设ℒ()ytYs对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则有211231sYssYsYss3112884()113113sYsssssss解得所以3131488tttyteee