中职《数学》(基础模块)上册第六章数列(6.2.3等差数列前n项和公式)

第六章数列6.2等差数列（2）复习测评温故知新1.求等差数列25,1,85,…的通项公式与第15项．2.在等差数列na中，50a，1010a，求1a与公差d.3.在等差数列na中，53a，915a，判断－48是否为数列中的项，如果是,请指出是第几项.创设情景兴趣导入6.2等差数列前𝑛项和的公式揭示课题【趣味数学问题】数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来!”对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．小高斯是怎样计算出来的呢?他观察这100个数1,2,3,4,5,…，96,97,98,99,100.并将它们分成50对，依次计算各对的和：1+100=1012+99=1013+98=1014+97=1015+96=101……50+51=101所以，前100个正整数的和为101×50=5050.创设情景兴趣导入探索归纳获得结论动脑思考探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为1+100×1002=5050现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前𝑛项和．将等差数列𝑎𝑛前𝑛项的和记作𝑆𝑛．即𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛−2+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛1𝑆𝑛=𝑎𝑛+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2+⋯+𝑎3+𝑎2+𝑎12也可以写作由于𝑎1+𝑎𝑛=𝑎1+𝑎𝑛𝑎2+𝑎𝑛−1=𝑎1+𝑑+𝑎𝑛−𝑑=𝑎1+𝑎𝑛𝑎3+𝑎𝑛−2=𝑎1+2𝑑+𝑎𝑛−2𝑑=𝑎1+𝑎𝑛……𝑎3+𝑎𝑛−2=𝑎1+2𝑑+𝑎𝑛−2𝑑=𝑎1+𝑎𝑛(1)式与（2）式两边分别相加，得2𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑎𝑛由此得到等差数列𝑎𝑛前𝑛项的和为𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑎𝑛2【前𝑛项和公式】即等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．动脑思考探索新知利用公式𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑎𝑛2,知道了等差数列𝑎𝑛中的𝑎1、𝑛和𝑎𝑛，可以直接计算𝑆𝑛．探索归纳结论拓广【想一想】这说明：在等差数列中，知道了𝑎1,𝑛,𝑑,𝑎𝑛,𝑆𝑛,中的三个量，就可以求出其余的两个量。针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？其实，利用等差数列前𝑛求和公式𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑎𝑛2,和等差数列的通项公式𝑎𝑛=𝑎1+𝑛−1𝑑,可以得到等差数列另一个前𝑛求和公式：𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛𝑛−12𝑑【小贴示】这个公式表明：在等差数列中，知道了𝑎1,𝑛,𝑑,𝑆𝑛,中的三个量，就可以求出其余的一个量。所以，针对不同情况，应该灵活使用采用这样两个公式。巩固知识典型例题例2等差数列−13,−9,−3,−1,3,……的前多少项的和等于50？．解设数列的前𝑛项和是50，由于𝑎1=−13,𝑑=3−−1=4,例1已知等差数列𝑎𝑛中,𝑎1=−8,𝑎20=106,求𝑆𝑛．𝑆20=20−8+1062=980解由已知条件得应用新知识所以，50＝−13𝑛+𝑛𝑛−12×4即，2𝑛2−15𝑛−50＝0解得，𝑛1＝10,𝑛2=−52（舍去）所以，该数列的前10项的和等于50．【想一想】例6中为什么将负数舍去？运用知识强化练习应用新知识1.求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和．2.在等差数列𝑎𝑛中,𝑎4=6,𝑎9=26,求𝑆20．例3某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？巩固知识典型例题解1由题意知，各排座位数成等差数列，设公差𝑑=2,𝑎25=70,于是，70=𝑎1+25−1×2解得，𝑎1＝22.所以，𝑆25＝25×22+702＝1150.答礼堂共有1150个座位．解2将最后一排看作第一排，则，𝑎1=70,𝑑=−2,𝑛=25,因此𝑆25=25×70+2525−12×−2=1150答礼堂共有1150个座位．【想一想】比较本例题的两种解法，从中受到什么启发?例4小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）?巩固知识典型例题解年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．第1个月的存款利息为1000×0.1425%×12（元）；第2个月的存款利息为1000×0.1425%×11（元）；第3个月的存款利息为1000×0.1425%×10（元）；……第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）．应得到的利息就是上面各期利息之和．𝑆𝑛=1000×0.1425%×1+2+3+⋯+12=111.15（元）故年终本金与利息之和总额为12×1000+111.15=12111.15（元）．【说明】年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．计算公式为月利率=年利率÷12．1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比他下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管．2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多少（精确到0.01元）?运用知识强化练习理论升华整体建构思考并回答下面的问题：结论：等差数列的前n项和公式是什么？等差数列前𝑛项和的公式:𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑎𝑛2(1)𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛𝑛−12𝑑(2)归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测继续探索活动探究1.本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？2.一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共铺了多少块瓦片．(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．2（选做）(3)实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题.