离散时间系统的时域分析

第五章离散时间系统的时域分析§5.1比较:离散时间系统与连续时间系统分析§5.2离散时间信号——序列§5.3离散时间系统的数学模型—差分方程§5.4常系数线性差分方程的求解§5.5离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应§5.6卷积（卷积和）§5.7解卷积（反卷积）连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。§5.1比较:离散时间系统与连续时间系统分析离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。采样→量化幅值量化——幅值只能分级变化。采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。ot()tfTT2T31.32.45.19.0oTT2T3()tfqt3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。系统分析连续时间系统——微分方程描述离散时间系统——差分方程描述差分方程的解法与微分方程类似分析++拉氏变换法变换域分析零状态响应零输入响应特解经典法：齐次解时域分析:分析++变换法变换域分析零状态响应零输入响应特解经典法：齐次解时域分析z:连续系统微分方程卷积积分拉氏变换连续傅立叶变换卷积定理离散系统差分方程卷积和Z变换离散傅立叶变换卷积定理系统分析对比§5.2离散时间信号——序列•离散信号的表示方法•离散时间信号的运算•常用离散时间信号一．离散信号的表示方法0,00,2)(nnnxn试写出其序列形式并画出波形。波形：n1212()nx124O,8,4,2,1,0,0,)(0nnx序列形式：例()()(),2,1,0±±nnxTnTxtx等间隔序列的三种形式O)(nxnO)(nxnO)(nxn1n2n；双边序列：n；单边序列：0n；有限长序列：21nnn离散时间复指数信号在频率与频率时完全一样的。与连续时间复指数信号是完全不同的.02+00jte离散系统：具有频率为0的复指数信号与02，04…这些频率的复指数信号则是一样的。因此，在离散时间复指数信号时，仅仅需要在某一个2间隔内选择0就行了。大多数利用这样002这样一个区间，或-0这样一个区间。高频（快变化）位于的奇数倍附近，低频位于的偶数倍附近。0jte连续系统：不同的0对应着不同的信号。随着0增加，也增加二．离散信号的运算1．相加：2．相乘：3．乘系数：)()()(nynxnz+)()()(nynxnz)()(naxnz左移位右移位)()()()(mnxnzmnxnz+4．移位：on()1nx123()1x()0x()1x()3x()2x41on()nx123()1x()0x()1x()3x()2x1)()(nxnz)1()()()()1()(+nxnxnxnxnxnx后向差分：前向差分：kkxnz)()(5．倒置：6．差分：7．累加：8．重排（压缩、扩展）：()()()anxnxanxnx,或注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。9．序列的能量nnnxE2)(例5-2-2On1()nx12345623456On12nx123456789101223456On()nx2123456246波形。波形，请画出已知2),2()(nxnxnx三．常用离散信号•单位样值信号•单位阶跃序列•矩形序列•斜变序列•单边指数序列•正弦序列•复指数序列1．单位样值信号0,10,0)(nnn时移性比例性)(),(jncnc抽样性)()0()()(nfnnf注意：nO)(n11jnjnjn,1,0)(n)1(n11O()()()。不是面积取有限值在，幅度为表示，强度用面积0)(;0)(nntt利用单位样值信号表示任意序列mmnmxnx)()()((),,,,,.,00305110nnf12341on()nf5.13()()()235.11++nnn2．单位阶跃序列0001)(nnnunO)(nu11123++++0)()3()2()1()()(kknnnnnnu)1()()(nunun:)(样值之和可以看作是无数个单位nu()()商关系。是差和关系，不再是微与nun3．矩形序列NnnNnnRN,00101)(no)(nRN111231N())()()(NnununRnuN的关系：与4斜变序列)()(nnunR.....543210n123450)()(2nunnr.....543210n409162515．单边指数序列()()nuanxnOn1()nuan112341aOn1()nuan112341aOn1()nuan1123401aOn1()nuan1123410a6．正弦序列数值。个重复一次正弦包络的则序列每＝当的速率。序列值依次周期性重复正弦序列的频率10,10π2,:00()()0sinnωnxN称为序列的周期，为任意正整数。()()nxNnx+()()0sinωnnx正弦序列：15On110()0sinnω1()()sin0是周期序列应满足离散正弦序列nnx正弦序列周期性的判别①②()sin0仍为周期的n0π2mN周期：正弦序列是周期的()Nn+0sin()n0sin()π2sin0+n+00π2sinn()Nn+0sin()n0sin()π2sin0+mn+00π2sinmn③()()值的找不到满足NnxNnx+，为非周期的正弦序列是周期的正弦序列是周期的正弦序列是非周期的π20是正整数，NN为有理数，mNmN0π2为无理数0π2()()4.0sin是否为周期信号？信号nnx4.00例5-2-5是无理数π5π20所以为非周期的序列7．复指数序列复序列用极坐标表示：()nnnxn00jsinjcose0+()()()nxnxnxargje()1nx()nnx0arg复指数序列：§5.3离散时间系统的数学模型—差分方程•用差分方程描述线性时不变离散系统•由实际问题直接得到差分方程•由微分方程导出差分方程•由系统框图写差分方程•差分方程的特点一．用差分方程描述线性时不变离散系统线性：均匀性、可加性均成立；离散时间系统)(1nx)(1ny离散时间系统)(2nx)(2ny离散时间系统)()(2211nxcnxc+)()(2211nycnyc+时不变性()()，nynx()()位整个序列右移NNnyNnxnO)(nx11123nO)(ny111234nO)(Nnx11123nO)(Nny11123系统系统二．由实际问题直接得到差分方程例如：y(n)表示一个国家在第n年的人口数a(常数)：出生率b(常数):死亡率设x(n)是国外移民的净增数则该国在第n+1年的人口总数为：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)三．由微分方程导出差分方程后差或前差()()()tftaytty+dd()：输出ty()：输入tf()()()TTtytyttyddT:时间间隔()()()TtyTtytty+dd列差分方程若用后差形式若在t=nT各点取得样值当前输出前一个输出输入n代表序号()()()()tftayTTtyty+()()()nynTyty()()()nfnTftf()()()()nfnayTnyny+1()()()nfaTTnyaTny+1111四．由系统框图写差分方程1．基本单元()nx1()nx2()()nxnx21+()nx1()nx2()()nxnx21+加法器：乘法器：()nx1()nx2()()nxnx21()nx()naxa()nx()naxa延时器单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离散值顶出来，递补。()ny()1nyE1()ny()1ny1z标量乘法器系统框图例5-3-1()()()1+naynxny框图如图，写出差分方程解：a()nx()nyE1a()nx()nyE1()()()naynxny++1()()nxnyany+11)(或一阶后向差分方程一阶前向差分方程五．差分方程的特点(1)输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。(2)差分方程的阶数：差分方程中函数的最高和最低序号差数为阶数。如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的()()MrrNkkrnxbknya00:通式(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会画。(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。1.迭代法3.零输入响应+零状态响应利用卷积求系统的零状态响应2.时域经典法：齐次解+特解4.z变换法反变换y(n)§5.4常系数线性差分方程的求解()()111300+yyn()()410311+yyn()()1311322+yyn()()4012333+yyn由递推关系,可得输出值：(),40,13,4,10nny()()()()求解方程。，且已知,0113+ynunyny一．迭代法解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系，()的解析式但得不到输出序列ny二．时域经典法1.齐次解：齐次方程的解()()01nayny()()()()()()()anynyyyyyy10110,01()nCany指数形式()()()不能全为零但起始状态Nyyy,2,1()所以的几何级数是一个公比为说明,anyarar可得或由特征方程,0()nnCaCrny求待定系数C由边界决定()()210ayy代入原方程，(),21ay设0n令()ny由方程解()CCay002C所以()nany2齐次解求差分方程齐次解步骤差分方程特征方程特征根y(n)的解析式由起始状态定常数一)根据特征根，齐次解求解的三种情况阶方程无重根nrrrn21.12.有重根3.有共轭复数根()()()()nnnnnrCrCrCny+++2211()()()02615+nynyny()()11,20。已知yy3,221rr()()132112002121++CCynCCyn()()()nnny3325所以求解二阶差分方程特征方程()()0320652+rrrr齐次解()()()nnCCny3221+定解出3,521CC特征根21,CC阶方程无重根nrrrn21.1()()()()的解。求方程0