连续函数的性质(精)

§3.2连续函数的性质一、连续函数的局部性质四、初等函数的连续性性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质一、连续函数性质1、连续函数的四则运算性(2)()(),fxgx(1)()(),fxgx(),()fxgx若函数定理则函数连续均在点,0x0(4)()/(),()0fxgxgx(3)()(),fxgx0.x在点也是连续的00,().ufx连续0(()).gfxx则复合函数在点连续,01存在01||,uu当时有0|()()|,gugu证,0因此对于任意的0(),guu由于在点连续01(),0,fxx又因为在点连续故对上述00,||,xx存在当时有0()guu在点0()fxx若函数在点连续，定理22、复合函数的连续性001|()()|||,fxfxuu00|(())(())||()()|,gfxgfxgugu于是0(()).gfxx这就证明了在点连续3、连续函数的局部有界性0|()||()|1.fxfx0||,xx当时0|()()|1,fxfx故0fx因为在连续，存在所以对,1证,00().fUx在某邻域上有界连续，在点若函数0xf定理4（局部有界性）则这就证明了0().fUx在某邻域上有界4、连续函数的局部保号性)0)((0)(xfxf或0,fx若函数在点连续且定理3（局部保号性）则,)0)((0)(00xfxf或0,0xxx均有使得对一切存在,,0DxDx),)()(()()(00xfxfxfxf二、闭区间上连续函数的性质定义().fxD设为定义在数集上的一个函数若()(),fxD则称在上有最大小值0()x称为最大小值0()()().fxfxD称为在上的最大小值点,一、最大(小)值的定义1.闭区间上连续函数性质定理（最大、最小值定理）()fx若函数在闭区[,]ab间上连续，()[,].fxab则在上有最大、最小值定理(有界性))(,],[)(xfbaxf则上连续在闭区间若函数.],[上有界在ba引理（零点定理）,],[)(上连续在若baxf0)(0xf则至少存在一点,0)()(bfaf,0x使xyOab定理（介值性定理）],[)(baxf在闭区间设函数(()()()()),fafbfbfa间的任一数或.)(0xf.)()(bfaf且()()fafb若是介于与之上连续,使得,),(0bax则(至少)存在一点定理（介值性)],[)(baxf在闭区间设函数(()()()()),fafbfbfa间的任一数或.)(0xf.)()(bfaf且()()fafb若是介于与之上连续,使得,),(0bax则(至少)存在一点yxo)(af)(bfab0x()yfx证不妨设f(x)严格增,那么)](,)([bfaf就是反上连续,且与f(x)有相同的单调性.)(1xf定理4.8若函数f(x)在ab[,]上严格单调且连续,1()[(),()]yfxfafb在fbfa[(),()]或则反函数三、反函数的连续性函数的定义域.)(1yfx1()[(),()]xfyfafb在上严格增1.加2.1()[(),()].xfyfafb在上连续(如图所示).0bxa则),()(0bfyaf,)(010yfx令,0y对于任意Oxyab()fa()fb0x0y①每一②对应1y2y0x0x③任给⑤取min2001,yyyy④对应),()()(21111yfyfyf.)()(0101yfyyf即时，当)()(2001yyyyy请读者类似地证明该函数在端点的连续性.1()(),()xfyfafb在这就说明了上连续.,)(,)(0201xfyxfy,0},min{1002yyyy令设,,00bxxa对于任意的正数且严格增.关于其它的反三角函数,cotarc,arctan,arccosxyxyxy均可得到在定义域内连续的结论.例()sin22fxx由于在，上连续且严格增，因此它的反函数arcsin[1,1]yx在上也是连续严格增.例()[0)nyxn由于为正整数在，上连续且严在上亦为连续且nxy1格增,那么其反函数),0[三、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i)常值函数;(vi)对数函数.(v)指数函数;(iv)幂函数;(iii)反三角函数;(ii)三角函数;以上六种函数称为基本初等函数.因为连续函数由上面的分析,我们得到如下结论：定义由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的.合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数.例求极限.cos)1ln(lim0xxx.00cos)01ln(cos)1ln(lim0xxx定理初等函数在其有定义的区间上是连续的.解因为xxcos)1ln(是初等函数,所以在处连续,0x从而例据理说明1,0()0,0xfxx不是初等函数.解因为0x是)(xf的定义区间上的点,而),0(01)(lim0fxfx所以在处不连续.因此函数不是初0x()fx()fx等函数.