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浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究22第2章小波变换的基础理论研究2.1引言Fourier变换是信号处理的重要工具,它在语音、雷达、声纳、地震、图像、通信系统、自动控制、生物医学工程、机械振动、遥感遥测、电力系统等许多领域都得到了应用。但是Fourier变换反映的是信号的整体特性,不能得到信号的局部特性。小波变换是时间和频率的局部变换,能更加有效的提取和分析信号的局部特性。小波分析在许多领域,如信号分析、图像识别、计算机视觉、视频图像分析、数据压缩和传输、故障诊断等领域有着重要的应用。图像的小波变换及其压缩编码是当今图像压缩编码领域中的研究热点,Saprio[1]提出的图像内嵌小波零树EZW(EmbeddedZerotreeWavelet)编码技术使该技术由理论走向实用。Said和Pearlman[2]在EZW基础上又给出了更为精细的基于分层树结构的集合分裂算法SPIHT(SetPartitioninginHierarchicalTree)。由于这种算法既降低了码率,又加快了算法的执行速度,因而得到了广泛的应用,在新标准JPEG2000[3,4]中已有应用。然而在图像的小波压缩编码技术中,小波基的正则性、信号的边界处理对压缩率及失真的影响仍然是值得研究的问题[5]。本章在小波变换的理论基础上对这些问题做了一些分析和探讨。2.2小波变换的原理[7-11]2.2.1短时Fourier变换(STFT:ShortTimeFourierTransform)对于一些非平稳信号,如音乐信号、语音信号,图像信号等,它们的频域特性都是随时间变化的。对这一类信号用Fourier变换进行分析,仅能知道信号所含有的频率信息,但不能知道这些频率信息究竟出现在什么时段上,为了研究这些信号的局部形态,需要对信号进行二维时-频分析。二维时-频分析实际上就是依赖于时间的频谱特性。STFT首先是由Garbor提出的。考虑一个信号x(t),集中在一个局部点,假定通过一个窗函数g(t)(g(t)是在有限的时间区间内定义的),通过窗口的x(t)g(t-)的Fourier变换就是STFT[7]:-2)()()(dteτtgtxf,τSTFTftπjx(2.1)这就把一维信号x(t)经STFT变换映射到二维的时-频平面(,f)上。STFT非常浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究23强的依赖于窗函数g(t)。STFT的反变换[7]为:τdeτtgf,τSTFTdftxftπjx2)()()((2.2)(2.1)式可从两方面进行解释[6,7]。在二维时-频平面上,如图2.1所示,垂直方向上的竖条表示在时刻,在窗函数g(t)确定的窗口范围内所含有的所有频率分量;另一方面,从子带分析的角度来看,水平方向的横条表示在给定频率f处,用脉冲响应为g(t)的带通滤波器对所有时间的信号进行滤波。g(t)不但要求在时域是近似有限宽的,而且在频域也要求是近似有限宽的,如图2.2所示。STFT中的窗函数g(t)一旦确定,它的时间窗大小和频率窗大小就确定了。时间窗大小和频率窗大小决定了g(t)的时间分辨率和频率分辨率。根据文献[7],设g(t)的Fourier变换为G(f),定义滤波器g(t)的带宽f为:df|fG|df|fG|ffΔ2222)()((2.3)其中分母表示g(t)的能量。两个正弦信号,只有它们的频率差大于f时,通过滤波器g(t)才能将它们区分出来,所以以g(t)为窗口的STFT的频率分辨率由f决定。类似,时间的宽度t定义为:dt|tg|dt|tg|ttΔ2222)()((2.4)其中分母同样表示g(t)的能量,两个脉冲信号只有它们在时间上相距大于t时,通过滤波器G(f)才能将它们区分出来。在(2.3),(2.4)式中,假定g(t)和G(f)的中心点在t=0和f=0处,如图2.2所示在STFT中,由于Δt和f的固定不变,在整个时-频平面上只能采用相同的频率、时间分辨率,这是STFT的不足。因为对于非平稳信号,也许某一小时间段上,是以高频信息为主,我们希望用小的时间窗进行分析,而对长时间段上的低频信号,希望采用大时间窗进行分析。因此,对于一个时变的非平稳信号,很难找到一个好的时间窗来适合于不同的时间段。小波变换的引入弥补了STFT的不足。小波变换采用了可变带宽的窗函数(滤波器),在低频端用窄带滤波器进行分析,而在高频端用宽带滤波器进行分析,这就是所谓的相对带宽固定的滤波滑动窗g(t)fSTFT(,f1)STFT(,f2)STFT(1,f)STFT(2,f)1调制的滤波器组图2.1STFT的时-频平面2f1f2浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究24器组(即恒Q特性)[6]。如图2.3(b)所示。图2.3(a)为STFT下的绝对带宽恒定的滤波器组。2.2.2连续小波变换(CWT:ContinuousWaveletTransform)2.2.2.1一维连续小波变换设)(tα为平方可积函数,)(tαL2(R),若其Fouriera变换()满足:ωdω|ωA|CRh2)((2.5)则称)(t为一个基本小波或小波母函数,(2.5)式为小波函数的容许条件。由(2.5)式可知:0)(0)(dttαωAR(2.6)即小波母函数的均值为零,那么它一定是正负交替的。如Marr小波:)1()(222tetβ/t2222)(/ωeωπωΑ(a)绝对带宽恒定的滤波器组频谱(b)相对带宽恒定的滤波器组频谱G(f)G(f)fff02f03f04f05f06f0f02f04f08f0图2.3STFT和小波变换滤波器组的频谱f2)(fGf(b)频域波形图2.2STFT窗口函数的时、频域波形t2)(tgt(a)时域波形浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究25对一个小波母函数)(tα,通过平移和伸缩构成一组小波基,记为)(tατ,a)(1)(at-ταatατ,aa0,R(2.7)参数a,分别称为尺度因子和位移因子(常数a1是用于能量的归一化)。Marr小波的基及其Fourier变换如图2.4所示。由于a,为连续变换的,所以)(tατ,a为连续小波基函数。信号)(tx的连续小波变换定义为[7]:)()()(tα,tfτ,aCWTτ,axdtaτtαtxaR)()(1(2.8)CWT将一维信号映射到二维时间-尺度平面上,在二维时间-尺度平面上,有利于信号特征的提取。从时-频分析的角度来看,如令ftπjτ,ae)τt(gat-ταatα2)(1)((2.9)则CWT可看作是STFT。信号)(tx在某一尺度a,平移点上的小波变换系数,实质上表征的是位置上,时间段ta上经过中心频率为a/f0,带宽为aΔf带通滤波器的频率分量大小。随着尺度a的变化,带通滤波器的中心频率及带宽都发生变化。当分析低频(对应大尺度)信号时,其时间窗增大,滤波器中心频率和带宽减小,而当分析高频(对应小尺度)信号时,其时间窗减小,滤波器中心频率和带宽增大,这正好符合实际问题中高频信号持续时间短,低频信号持续时间长的自然规律。而在STFT中,窗口是固定不变的,这正是两者的本质区别。小波变换的逆变换为[8,9]:图2.4Marr小波基的时域波形、频域波形(b)频域波形-10-8-6-4-2024681001234a=2a=1a=0.5(a)时域波形-5-4-3-2-1012345-1-0.500.511.5a=0.5a=1a=2浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究26τdthτ,aCWTadaCtxτ,aRRxh)()(1)(2(2.10)2.2.2.2二维连续小波变换设(x,y)为一二维连续函数,满足容许条件:yRyyxxRxhωdω|ω,ωA|ωdωC2)(1(2.11)则y),(xα可以作为小波母函数。),(yxωωA为y),(xα的二维Fourier变换。二维连续函数)(y,xf的小波变换定义为:dxdyy,xαy,xfτ,τ,aCWTτ,τ,aRRf)()()(2121(2.12)其中,)(21y,xατ,τ,a为二维小波基,1,2为两个方向上的位移,a为尺度。)(||1)(2121aτy,aτxαay,xατ,τ,a(2.13)二维Marr小波母函数2)(2222)-(1)(/yxeyxy,xα,时域波形见图2.5二维小波变换的逆变换为:212102)(1)(τdτdτ,τ,aCWTadaCy,xffh(2.14)当二维小波母函数是可分离型时,即)()()(21yαxαy,xα,则它可简化为一维小波变换。在实际的图像小波变换中大都采用可分离的小波变换。2.3多分辨率分析与Mallat算法2.3.1小波变换参数的离散化图2.5二维Marr小波母函数的时域波形,尺度a分别为0.5、1、2浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究27由于连续小波变换)(τ,aCWTx变换域参数是连续的,从降低信息冗余[9]的角度和实际应用的角度来说,需要将尺度参数和位移参数离散化。一种最常用的方法就是将尺度按幂级数进行离散化,即取a=a0m(mZ,Z为整数基,a01,常取为2)。位移的离散化,为了不丢失信息,要满足Nyquist采样定理。当尺度a增加一倍时(m加1),对应的滤波器带宽减小一半,采样频率可以降低一半,采样间隔增大一倍。因此,在尺度a=1(m=0)时,位移的采样间隔设为T0,则在尺度a=a0m时的采样间隔为a0mT0。因此,在尺度和位移都离散化后,小波基函数)(t,a可表示为:)-(22)22(202-02nTtαnTtαmmmmm)(tαn,m,m,nZ.在归一化(设T0=1)情况下,上式为:)(22)(2-ntαtα-mmn,m(2.15)任意函数x(t)的离散小波变换为:dttαtxm,nDWTn,mx)()()((2.16)2.3.2多分辨率分析(MRA:Multi-ResolutionAnalysis)多分辨率分析方法是Mallat在研究计算机视觉时提出的[11],它的基本思想是将图像在不同尺度下分解,得到不同尺度下图像分解的结果,然后进行比较,从而得到一些有用的信息。2.3.2.1多分辨率分析的数学描述[9,10,11]设函数)(tαL2(R)(平方可积空间),若其整数平移序列{)()(t-nαtαn}相互正交,即:)()()(nnδtα,tαnnn,nZ(2.17)则由{)(tαn}所张成的子空间称为尺度空间[9],而函数)(t称为尺度函数(或生成元)。由(2.15)式可知,在尺度函数序列{)(tαn}中由于m=0,因此,由{)(tn}所张成的子空间为零尺度空间,记做V0,而{)(tαn}即为V0的一组基。根据泛函分析的理论[12],任意函数)(tfV0,可以由V0的一组基的线性表出,即:nnntαctf)()((2.18)浙江大学博士学位论文第2章小波变换的基础理论研究28其中:dttαtfcnn)()((2.19)同样可得到尺度m0下的尺度函数序列{)(22)(-2t-nαtαmmn,m},由{)(tαn,m}所张成的子空间为m尺度空间,记为Vm。那么任意)(tfVm可由{)(tαn,m}线性表出:nn,mn,mtαctf)()((2.20)由此,尺度函数)(tα在不同尺度下的平移序列张成了一系列的尺度空间{Vm,mZ}。随着尺度m的增大,函数)(tαn,m的宽度增大,且实际的平移间隔(2mT0)也变大,所以它的线性表达式(2.20)就不能表示函数的细微变换(小于该尺度下的变化),因此,其张成的尺度空间只能包含大尺度的慢变信号,相反,随着尺度m的减小,函数)(tαn,m的宽度变小,实际的平移间隔(2mT0)也变小,则它的线性表达式可以表达函数的更细微的变
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