高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知识梳理1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)函数f(x)的导函数f′(x)＝0limxf（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；解(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex1x＝lnx＋1xex.(2)因为y＝x3＋1＋1x2，所以y′＝(x3)′＋(1)′＋1x2′＝3x2－2x3.【训练1】(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A.－eB.－1C.1D.e解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案B(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.(2)f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx).由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案(2)3考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例2】(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.解析(1)设x0，则－x0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以当x0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案2x－y＝0【训练2】(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋lnx，∴y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案B命题角度二求切点坐标【例3】(2017·西安调研)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，又y＝1x(x0)的导数y′＝－1x2，曲线y＝1x(x0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)【训练3】若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.解析(1)由题意得y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e).答案(1)(e，e)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例4】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析由y＝x＋lnx，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8【训练4】1.函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a在(0，＋∞)上有解，a＝2－1x，因为a＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).答案(2)(－∞，2)2.点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A.1B.32C.52D.2解析点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－lnx，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－lnx上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性【例1】设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性.解f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2]＝ex(ax＋1)(x＋2)＝aexx＋1a(x＋2)①当a＝12时，f′(x)＝12ex(x＋2)2≥0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增；②当0＜a＜12时，有1a＞2，令f′(x)＝aexx＋1a(x＋2)＞0，有x＞－2或x＜－1a，令f′(x)＝aexx＋1a(x＋2)＜0，有－1a＜x＜－2，∴函数f(x)在－∞，－1a和(－2，＋∞)上单调递增，在－1a，－2上单调递减；③当a＞12时，有1a＜2，令f′(x)＝aexx＋1a(x＋2)＞0时，有x＞－1a或x＜－2，令f′(x)＝aexx＋1a(x＋2)＜0时，有－2＜x＜－1a，∴函数f(x)在(－∞，－2)和－1a，＋∞上单调递增；在－2，－1a上单调递减.【训练1】(2016·四川卷节选)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝1x－eex，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.(1)解由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x0).当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a0时，由f′(x)＝0有x＝12a，当x∈0，12a时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈12a，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x1时，s′(x)0，所以ex－1x，从而g(x)＝1x－1ex－10.考点二求函数的单调区间【例2】(2015·重庆卷改编)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.解(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′－43＝0，即3a·169＋2·－43＝16a3－83＝0，解得a＝12.(2)由(1)得g(x)＝12x3＋x2ex故g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex＝12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)0，得x(x＋1)(x＋4)0.解之得－1x0或x－4.所以g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).【训练2】已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，(x0).则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x∈(0，5)时，f′(x)0；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).考点三已知函数的单调性求参数【例3】(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.解(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x0.∴h′(x)＝1x－ax－2.若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x0时，1x－ax－20有解，即a1x2－2x有解.设G(x)＝1x2－2x，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，(**)则a≥1x2－2x恒成立，所以a≥G(x)max.又G(x)＝1x－12－1，x∈[1，4]因为x∈[1，4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716.当a＝－716时，h′(x)＝1x＋716x－2＝16＋7x2－32x16x＝（7x－4）（x－4）16x，∵x∈[1，4]，∴h′(x)＝（7x－4）（x－4）16x≤0，当且仅当x＝4时等号成立.(***)∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是－716，＋∞.【训练3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1，1)，求a的值.解(1)因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号.∴f(x)＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是(－∞，0].(2)f′(x)＝3x2－a.当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a≤0不合题意.当a0时，令3x2－a0，得－3a3x3a3，∴f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，依题意，3a3＝1，即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(