点列,递归数列和数学归纳法

点列、递归数列和数学归纳法【考题回放】1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an-1)，则a2等于(A)A.4B.2C.1D.-22．在数列中，，且，则35．3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是2n+1-2.5．已知n次式项式.若在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要65次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要2n次运算.6．已知函数f(x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，(Ⅰ)x（Ⅱ）.【解答】(I)证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.（II）因为函数，当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故【考点透视】本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．【范例讲解】【范例1】已知数列中，对一切自然数，都有且．求证：(1)；(2)若表示数列的前项之和，则．解析：(1)由已知得，又因为，所以,因此，即．(2)由结论(1)可知，即，于是，即．【点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系．【文】记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和解析（I）整理得（Ⅱ）由所以【范例2】设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解析(Ⅰ)由①得所以再由①有②将①和②相减得:整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…(Ⅱ)所以==【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．【文】设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.（１）求数列的通项公式（用S1和q表示）；（２）试比较的大小，并证明你的结论.解析（１）∵是各项均为正数的等比数列，∴．当n=1时，a1=S1；当．∴（２）当n=1时，∴．当时，∵①当q=1时，②当③当综上可知：当n=1时，．当若若【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{Pn}}.求：（Ⅰ）的关系式；（Ⅱ）数列的通项公式；（Ⅲ）当时，的极限位置的坐解析（Ⅰ）由题得过点P1（的切线为过原点又过点Pn（的因为过点Pn-1（整理得（Ⅱ）由（I）得所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列（法2）通过计算再用数学归纳法证明.（Ⅲ）的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．【文】数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解析由得，即，所以，对成立．由，，…，相加得，又，所以，当时，也成立．（Ⅱ）由，得．而，，.【范例4】设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．(Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)证明{}是等差数列．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C1：y=x2-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则由题意得,即又P2(x2,0)在C1上,∴2=x22-7x2+b1解得x2=3,b1=14.故C1方程为y=x2-7x+14.(Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则|AnP|=令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,由题意得,,即=0,又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0,(*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1.①当n=1时,x1=1,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0,(*)又ak=-2-4k-,∴.即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列.【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．【文】已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列．解析（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列．（II）解：由（I）得（III）证明：①②②－①，得即③④④－③，得即是等差数列．自我提升1.设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为2004，那么数列2，，，……，的“理想数”为（A）(A)2002(B)2004(C)2006(D)20082.数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：(1)2*2=1，(2)(2n+2)*2=3(2n*2)．则2n*2用含n的代数式表示为3n-1_3.若数列{an}满足若，则的值为（B）(A)(B)(C)(D)4.弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)（A）0颗（B）4颗（C）5颗（D）11颗5.一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（C）（A）P(3)=3（B）P(5)=1（C）P(101)=21（D）P(103)P(104)6.已知函数f(x)=2x2－x,则使得数列{}(n∈N+)成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为.p=-2q7.(理)已知x轴上有一点列：P1(x1,0),P2(x2,0),…,Pn(xn,0),…点Pn+2分有向线段所成的比为λ，其中n∈N*，λ0为常数，x1=1,x2=2.（1）设an=xn+1－xn，求数列{an}的通项公式；（2）设f(λ)=xn，当λ变化时，求f(λ)的取值范围.解析（1）由题得∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴∴当λ0时(文)设曲线与一次函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，若f(-1)=0，且点在曲线上，又a1=a2．（1）求曲线C所对应的函数解析式；（2）求数列{an}d的通项公式．解析：（1）y＝x-1(2)an＝（n－1）！8．（理）过P（1，0）做曲线C：y=xk(x(0,+),kN+，k1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an，求证：（Ⅰ）数列{an}是等比数列；（Ⅱ）；（Ⅲ）解：（Ⅰ）若切点是，则切线方程为当时，切线过点P（1，0）即得当时，切线过点即得∴数列是首项为，公比为的等比数列.…6分（Ⅱ）（Ⅲ）记，则两式相减（文）已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中．（1）求与的关系式；（2）求证：{}是一等比数列.解析：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，则，于是．（2）记，则，因为，因此数列{}是等比数列．注：以上答案均为参考答案