2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第3章第21讲 数列的应用

数列与不等式、函数知识的综合1【例】设数列an满足a1＝0，且11－an＋1－11－an＝1.(1)求an的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，证明：Sn1.【解析】(1)11－an是公差为1的等差数列，11－an＝11－a1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n－1n(n∈N*)．(2)bn＝1－an＋1n＝1－nn＋1n＝1n－1n＋1，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋11.(1)解本题突破口关键是由式子11－an＋1－11－an＝1.得到11－an是等差数列，进而可求出数列an的通项公式．(2)问求出bn的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和．3313231712()1{.1121.3nnnnnnnnnnnfxxaaaaaSfabaSnTbaST设＝，等差数列中，＝，＋＋＝，记＝．令＝，数列的前项和为求的通项公式与；求证：【变式练习】31123113311.2733121332.()31.(32)(31)11111(),(32)(31)33231111(1).112333nnnnnnnnnnadaadaaaadadanfxxSfaanbaSnnbnnnnTn＋设数列的公差为由＝＋＝，＋＋＝＋＝，解得＝，＝，所以＝－因为＝，所以＝＝＝＋证明：因为＝＝－＋，所以＝＝所以＝－【解析】数列中的探索性问题2*11()4221nnnnnnanSSaanaN各项均为正【数的数列的前项和为，＋．】＝求例；*24212()(01)3()()23()nnnnnnnnnnnnnanbcbnbncnTbqaqqqcnbbbqcqcN＋为奇数令＝，＝，为偶数求的前项和；令＝＋、为常数，且，＝＋＋＋＋＋．是否存在实数对，，使得数列成等比数列？若存在，求出实数对，及数列的通项公式；若不存在，请说明理由．2211111111221112211111*11110.42420211112,424211()()0,42()(2)0.022)1(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSaaaaaanaSSaaaaaaaaaaaaaaaaannN－－－－＝＝＋＋因为，所以＝；当时，＝－＝＋－-－即＋－－＝因为，所以－＝，所以为等差数列，所＝】以【解析．163328421124212221122123162.3228(22)(22)(22)226(1).22(2*)2nnnnnnnnnnncbbacbbbbancbbbaTnnTnnnN＋－＋－＋－－＋－＝＝＝＝，＝＝＝＝＝＝当时，＝＝＝＝＝＋，此时，＝＋＋＋＋＋＋＋＝＋；所以＝＋且22222222221(1)313(1).11130.1310233()(1)4().243nnnnnqqcnnqqqnqqqqqqc＋＝＋＋＋＝＋－＋＋＋令＋所以存在，＝－，，＝应用递推公式时要注意下标是正整数，即要注意n的取值范围；对等差数列和等比数列的通项公式和前n项求和公式的特征要熟练掌握并且能够应用．本题(3)也可以从特殊到一般，先由c1，c2，c3成等比数列，求出(λ，q)，再代入检验．14222*.1142429920102nnnnnnadnSbnTaSSbTnSTN已知数列是公差为的等差数列，它的前项和为；等比数列的前项和为若＝，＝【变＋，＝，＝，是否存在，使得＋＝？若存在，求出来；若不存在，说式练习】明理由．421121122124464241.1(1)2221419931311(1)1133(1).12313nnnnnSSadaddnnnaSnadbTbbqT由＝＋，得＋＝＋＋，解得＝又＝，所以＝＋＝；由＝，＝，得＝，所以等比数列的公比＝，所以＝＝【解析】*2**20101401932010nnnnnnSTnnnSTNNN若存在，使得＋＝，代入化简得－＝，显然时无解，即不存在，使得＋＝，数列的实际应用2009500201020.2010600(2010)1500(1)()2nnn某企业年的纯利润为万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预计从年起每年比上一年纯利润减少万元年初该企业一次性投入资金万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第年年为第一年的利润为＋万元为【例3整数】．(1)从2010年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An和Bn的表达式；(2)依据上述预计，从2010年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？22(50020)(500220)(50020)150020490102111500[(1)(1)(1)]6002221112250050060011250050.101002nnnnnAnnnnnnBnn由题意知：＝－＋－＋＋－＝－＝－，＝＋＋＋＋＋＋－＝＋－解】＝－－【析234500(500100)(49010)250010[(1)10]2500(1)10(0)213500500(1)103(31)100225005004(1)104(41)100;22.124200nnnnxnnnnBAnnnnnyxxnnnnnnnBA－＝－－－－＝＋－－．因为函数＝＋－－在，＋上是增函数，故当时，＋－－＋－－；当时，＋－－＋－－即当时，所以，从年起该企4业至少经过年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．本题考查利用等差、等比数列的基本知识解决实际问题的能力．“每年比上一年纯利润减少20万元”是等差数列模型，“累计纯利润”是求和，因此，本题用等差、等比数列求和的方法求得累计纯利润；“至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润”就是要求出BnAn的最小正整数n.本题是用构造函数，利用单调性的方法解决这个问题的．*(1)()212104000nnabnnbnSnabN某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件；若作广告宣传，广告费为千元比广告费为－【变式千元时多卖出件．试写出销售量与的函数关系式；当＝，＝时，厂家应生产多少件这种产品，作几千元的广告，才能获练习3】利最大？01121211022102222221[1]12(2)12121nnnnnnnnnnSbbSSSSbbSSSSbbSbbb－－－设表示广告费为元时的销售量．由题意知－＝，－＝，，－＝，－＝，将上述各式【解相加，得＝＋＝＝－析】．115104000101000140000(1)1000.25.557875.787552nnnnnnnnnabTTSnnTTTnTTnnS当＝，＝时，设获利为元．由题意知＝－＝－－欲使最大，则，代入解得所以＝，此时＝即厂家应生产件这种产品，作千元的广告，才能获利最大．1.如果执行下面的流程图，那么输出的S＝______________.25502.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为_________.－2129912991299(1)11(1)(1)0.lg1lglglg1lg()lg2.100nnnnynxknynxnyxaxnaaaxxxxxx＝＋，所以＝＋，切线方程－＝＋－．令＝，＝因为＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＝解析＝－【】3.在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，当n≥2时，an＋1是an·an－1的个位数，则a2010＝__________.【解析】列举出数列{an}的前几项：2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6，…，从第3项开始呈周期为6的重复出现，所以a2010＝a6＝4.4345344.11134511134nnnnanSSSSSSanSn已知公差不为零的等差数列的前项和为，若与的等比中项为，与的等差中项为，当数列的前项和取得最大值时＝__________2123453412111111345(0).11234124350.1252252nnaaSSSddSSnnSnadaadddad设等差数列的首项为，公差为．由题意得由求和公式＝＋并整理，得，解得【解析】11*1232(1).5512320551232105558.332.nnnaandnanannnnN所以＝＋－＝－＋又由，得而，所以＝24243245.(2)132.48ijnnnnaijaaa个正数排列如下表所示的行列：表示第行第列的数，其中第一行的每个数从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比相等，若＝，＝，＝1112131212223231323331231122331()2nnnnnnnnijnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaijSaaaaS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求的表达式用，表示；设＝＋＋＋＋，求的值．33421211113343131124141111-11111()413(2),1,81(3)221[(1)](21).iiiijjdqaaqadqaaaqadqdaaqadqqaaqajdqj－－设第一行等差数列的公差为，每一列的等比数列的公比为，则由题意有，解得所以＝＝【＝＋－解析】-1112233212321111()2111123()()2221111112()3()()222222111111()()(),2222214(2)()2nnnnnnnnnnnnnnanSaaaanSnSnSn－－－由＝，得＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋，①所以＝＋＋＋＋由①－②得＝＋＋＋＋－故＝－＋本节内容主要从三个方面考查：一是等差、等比数列的混合运算，要在熟记公式的基础上，巧用等差、等比数列的一些性质，正确列出方程(组)，再灵活、巧妙地运用运算法则，减少运算量，提高解题速度；二是与函数、不等式结合，运用函数的性质求最值或证明不等式；三是解决生活中的实际问题，关键是从等差、等比数列的定义出发思考、分析，建立适当的数学模型，再用通项公式求解，或者通过归纳、验证得出结论，再用数列知识求解．1．在解决数列实际问题时，首先要弄清需要哪些数列知识，是求通项，还是求和，或是递推关系问题，先将问题数学化，再函数化，最后数列化，即建立恰当的数列模型，进行合理的推理和运算，以得出实际问题所需要的结论．(1)一个实际问题，可建立等差数列的模型的必要条件是：离散型的变量问题，且变量取相邻两个值的差是同一个常数(如：利息中的单利问题)．(2)一个实际问题，可建立等比数列的模型的必要条件是：离散型的变量问题，且变量取相邻两个值的比是同一个常数(如：增长率、复利、分期付款问题等)．(3)在解决数列实际问题时，必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且要准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”．2．数列是一种特殊的函数．解数列综合问题要恰当运用函数、不等式和方程的思想方法．等价转化和分类讨论的思想在本节也有重要体现．复杂的问题