1.2 晶体点群与极射赤面投影投影(简版)

1.2点群与极射赤面投影极射赤面投影群的概念32种晶体点群2mm24mm4224326mm622m3mm3236643m62m43211m2/m2mmm222223223m23m3442m4/m4/mmm6/mmm6226/mStereographicprojectionsapointPpp2mm24mm4224326mm622m3mm3236643m62m43211m2/m2mmm222223223m23m3442m4/m4/mmm6/mmm6226/mStereographicprojectionsaplane2mm24mm4224326mm622m3mm3236643m62m43211m2/m2mmm222223223m23m3442m4/m4/mmm6/mmm6226/mStereographicprojections群的定义，group元素的集合G={gi}，并且定义了一种乘法:gigj=gk1。封闭性：集合中的任意元素和另一元素的乘积仍在这一集合中，gigj=gkG2。单位元素e,gie=gi（恒等元素）3。有逆元素,若gigj=e，则gi和gj互为逆元素，gi=gj-14。缔结律：gigjgk=gi（gjgk)=（gigj)gk12346m知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后，下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做“对称群”。因为上述对称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群”。14人们经过长期研究的结果，发现这八种对称元素共有32种组合方式，即32种点群。这32种电群对应于晶体的32种宏观对称类型，就是说自然界千千万万种晶体，可以归纳为32种宏观对称类型。群的例子，examples最简单的群:(1,-1),算术中的乘法；镜面和反演中心；所有不包括0的实数，普通乘法，单位元素为1；所有实数，普通加法，单位元素为0；4点群：乘法-旋转,每次旋转90；共有四个元素：0,90,180,270；单位元素是0；90和270是互为逆元素，180的逆元素是其本身；任何两次连续旋转都会是这四个角度之一。2mm24mm4224326mm622m3mm3236643m62m43211m2/m2mmm222223223m23m3442m4/m4/mmm6/mmm6226/m单一极轴10对称中心11无心多极轴11国际符号internationalsymbol采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。晶体学点群的对称元素方向及国际符号晶系第一位第二位第三位点群可能对称元素方向可能对称元素方向可能对称元素方向三斜1,`1任意无无1，`1单斜2,m,2/mY无无2,m,2/m正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方4,`4，4/mZ无，2，mX无，2，m底对角线4,`4，4/m，422，4mm,`42m,4/mmm三方3,`3Z无，2，mX无3,`3,32,3m,`3m六方6,`6,6/mZ无，2，mX无，2，m底对角线6,`6,6/m,622,6mm,`62m,6/mmm立方2,m,4,`4X3,`3体对角线无，2，m面对角线23,m3,432,`43m,m`3m对称方向晶系对称方向第一第二第三三斜无单斜b[010]正交a[100]b[010]c[001]四方c[001]a[100]/[010]a+b[110]六方c[001]a[100]/[010]2a+b[120]三方(R)a+b+c[111]a-b[1`10]立方a[100]/[010]/[001]a+b+c[111]a+b[110]熊夫利斯（Schöenfles）符号Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋转轴。Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴垂直的对称面。Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴重合（即平行）的对称面。Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个对称中心。Ci：表示有一个对称中心。S4：表示有一个四次旋转倒反轴。Dh：表示除了n次主旋转轴外，还包括n个与之轴垂直的二次旋转轴。Dnh：表示除了Dh的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面。Dnd：表示除了Dh的对称性外，还包括n个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴。Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。Td：除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的对称面。国际符号与熊氏符号对比国际符号熊氏符号1C12C23C34C46C6mCsCi，S2S414•点群：保留一点不变的对称操作群。•空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由32晶体学点群与14个Bravais点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。从晶系到空间群7个晶系旋转，反射，反演平移螺旋轴，滑移面32个点群14种Bravais格子230个空间群（按照晶胞的特征对称元素分类）空间群(SpaceGroup)•晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。一共有230种空间群。•空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的组合。230个空间群是由14个Bravais点阵与32个晶体点群系统组合而成。参见：空间群分布•三斜晶系：2个；单斜晶系：13个•正交晶系：59个；三方晶系：25•四方晶系：68个；六方晶系：27个•立方晶系：36个。•有对称中心90个，无对称中心140个。•73个symmorphic(点式)，157个non-symmorphic。了解Herman-Mauguin空间群符号•空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即Pnma、I4/mmm等)来指定。在简略符号中包含能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。•从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦然）。X-射线结晶学国际表(1)提供的信息的是：1.空间群的国际符号为2.Schoenflies符号3.晶系4.晶类5。一般等效点图：单胞的投影，包含所有等效点位置。“+”表示z0，“-“表示z0;“，”表示点“被翻转”(镜面操作或反演)。X-射线结晶学国际表(2)6.对称图：单胞的对称元素7.点位置(首先一般等效点，然后特殊点)：多重性(等效点的个数)“Wyckoff记号“在该位置的点对称性（sitesymmetry）点的坐标8.出现衍射的条件9-12：（略）从空间群符号辨认晶系1.立方–第2个对称符号：3或`3(如：Ia3,Pm3m,Fd3m)v四方–第1个对称符号：4,`4,41,42或43(如：P41212,I4/m,P4/mcc)v六方–第1个对称符号：6,`6,61,62,63,64或65(如：P6mm,P63/mcm)v三方–第1个对称符号：3,`3，31或32(如：P31m,R3,R3c,P312)v正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋轴(即Pnma,Cmc21,Pnc2）v单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/平面符号(即Cc、P2、P21/n)。v三斜–点阵符号后是1或(-1)。从空间群符号确定点群•点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出：1.把所有滑移面全部转换成镜面；2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。例如：•空间群=Pnma点群=mmm空间群=I`4c2点群=`4m2空间群=P42/n点群=4/m国际表中的空间群P21/cP21/cP21/c的图示等效点系•晶胞中对称元素按照一定的方式排布。在晶胞中某个坐标点有一个原子时，由于对称性的要求，必然在另外一些坐标点也要有相同的原子。这些由对称性联系起来，彼此对称等效的点，称为等效点系。•等效点系在空间群表中表示为Wyckoff位置。Wyckoff位置（1）在国际表中包含的一个最有用的信息是Wyckoff位置。Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。比如：单斜空间群Pm仅有垂直于b轴的二个镜面。一个在y=0，另一个在y=½位置。通过镜面操作，在x，y，z的原子--〉在x，-y，z第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0或½)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。Wyckoff位置（2）•多重性（multiplicity）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。•记号（letter）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。•对称（symmetry）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。Pm空间群的Wyckoff位置多重性Wyckoff记号点对称坐标2c1(1)x，y，z(2)x，-y，z1bmx，½，z1amx，0，z在晶体结构描述中，经常把多重性和Wyckoff记号结合在一起作为等效位置的名称。如把Pm空间群中的等效点位置称为1a,1b,2c等。一般位置-特殊位置一般位置：空间群表里最先列出的Wyckoff位置，1.不处在任何一个对称元素上的位置；2.一般位置具有最高多重性（M）。初级晶胞中M等于点群的对称操作总数；带心晶胞M等于点群的阶数乘以晶胞中的阵点数。3.在一般位置的原子总具有三个位置自由度，它的三个分数坐标都可以独立变化。特殊位置：所有不在一般位置的。1.处于一个或多个对称元素上的位置；2.其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。3.特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。石墨