选修4-4第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)

第二讲参数方程圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程为参数）(sincosryrx为参数）(sincosrbyrax复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？M如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:y＝NM＝x＝ON＝)(sincos为参数的参数方程为byaxM这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为[0,2)|OA|cosθ＝acosθ，|OB|sinθ＝bsinθφOAMxyNB椭圆的标准方程:1bya2222x椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称为点M的离心角小结椭圆的标准方程：12222byaxsincosbyax椭圆的参数方程：——离心角一般地：2,012222aybxsincosaybx在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab练习把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)3cos5sinxy(3)8cos10sinxy(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx)(sin2cos3为参数yx练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是.9322331tan6sin2cos3yx解：把代入椭圆参数方程)1,233(可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:xyOM(3cos,2sin)解：因为椭圆的参数方程为3cosy2sinx(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为5mind14922yx例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.14922yx例1、如图，在椭圆上求一点M，(1)使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.14922yx例1、已知椭圆上点M(x,y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：),y,y(288P设2882|4yy|d则分析2：),sin,cos(P22设222|4sincos|d则分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy例3、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。练习已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.)sincos(baA，)20(abab22sin2224ba22max4baL)0(12222babyax例4求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是矩形面积和周长分别是S、Lsincos4||||4baEAFAS4a当且仅当时，，abS2maxsin4cos4|)||(|4baEAFAL此时α存在。例6θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段116922yx例5四边形ABCD内接于椭圆其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。，cos8211021cos1221121BAxxx3sin4211921sin621121BAyyy13614422yx21MBAM例7已知点A在椭圆上运动，点B(0,9)、点M在线段AB上，且,试求动点M的轨迹方程。sin6cos12，解：由题意知B(0,9),设A(),并且设M(x,y)3sin4cos8yx(α是参数)116)3(6422yx消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:)0(12222babyax例6椭圆与x轴的正向相交于点A,O为坐标原点,若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。)sincos(ba，解:设椭圆上的点P的坐标是(α≠0且α≠π),A(a,0)aabkAPcos0sin，cossinabkOP而OP⊥AP，1cos0sincossinaabab0coscos)(22222baba222cosbab1cos（舍去），1cos1因为11222bab所以11122ee可转化为212e解得122e于是B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ29y422x练习:1θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段____?__________)(,0cos3sin2cos42222通方程为，那么圆心的轨迹的普为参数、已知圆的方程为yxyx1)sin()cos2(22yx化为)(sincos2{为参数yx1422yx化为普通方程是中点轨迹方程。上各点连线的为参数和椭圆、求定点)(sincos{)0,2(3byaxa144)(2222byaax得上述的方程消去参数，),(yxM点连线的中点为解：设定点与椭圆上的)(2sin2cos2{为参数则byaax的坐标为，则点的倾斜角为为原点，上一点，且在第一象限为参数是椭圆、POOPyxP3)()(sin32cos4{4)1554,554(、B)3,4(、D()B),3,2(、A),3,32(、C5154sin32,554cos4yx33tan3OPkOP的倾斜角为解：3cos4sin32xykOP又cos2sin在第一象限且点又P,1cossin22552sin,55cos双曲线的参数方程AB'BOyxMA'以原点O为圆心,a,b(a0,b0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。②)0,0(12222babyax研究双曲线的参数方程,1上在圆因为点CA,sin,cosbaA的坐标为,sin,cosbaOA所以sin,cos`aaxAA,`AAOA因为从而所以,0`AAOA.0sincoscos2aaxa记解得.cosax.sec,seccos1ax则,`的终边上在角因为点B.tan,tanbyby即由三角函数定义有的轨迹的参数方程为点所以M,,1cossincos1222因为,1tansec22即,,的轨迹的普通方程为②后得到点从③消去参数所以M,这是中心在原点.轴上的双曲线焦点在x.23,2,2,0且的范围为通常规定参数AB'BOyxMA'由圆的参数方程得点.tan,secbyax为参数•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。事实上1.已知参数方程11xttytt(t是参数,t0)化为普通方程,画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是参数表示什么曲线?画出图形.练习:的两个焦点坐标。、求双曲线tan34sec32{3yx(215,0)13yx3sec2{()_______tanxy、双曲线为参数的渐近线方程为4例1.求点M0(0,2)到双曲线x2－y2=1上点的最小距离。?,.,,,,0,122222以发现什么结论由此可的面积探求平行四边形两点近线交于分别与两渐行线作双曲线两渐近线的平过点为原点上任意一点为双曲线，设如图例MAOBBAMObabyaxMAMBOxyAMBOxy.xaby双曲线的渐近线方程为解,tan,secba不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为)sec(tanaxabby则直线MA的方程为代入把xaby)tan(sec2axA解得点A的横坐标为)tan(sec2axBB点横坐标同理aAOx设abtan平行四边形MAOB的面积为2sin||||OBOASMAOB平行四边形2sincoscosBAxx2sincos4tansec2222a.22tan222ababaa由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：3[0,2)22通常规定且，。说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.22221xyab22sec1tan⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.222222minmin(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,,34431QOQOQPQ解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值例3例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO),tan,sec(aaB)tan,sec(aaA则222ayx证明：设双曲线方程为取顶点A2(a,0),弦AB∥Ox，,sectan,sectan22aaakaaakBAAA122BAAAkk∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角．MOyx·B·A)0,0(12222babyax)0,(0xabax220||例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：)tan